| Planering | Formelblad | Fredriks filmer |
| Material/prov | Nationella prov, senaste | GeoGebra |
| Nationella prov, äldre | WolframAlpha | |
| Susannes NP-dokument | Mahifi, Joakims sida | |
| Ämnesplan |
Kommentarer till kursen/kursboken
1.1 1.2 1.3 1.4 2.1 2.2 2.3 2.4 3.1 3.2 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5
1.1 Trigonometri och enhetscirkeln
Repetition av trigonometri (sid 10-11)
Gammal skåpmat från Ma1c, som man bör känna igen.
Enhetscirkel (sid 12-15)
Detta är delvis (helt?) känt från Ma3c, fast där nöjde man sig kanske med vinklar i intervallet $0^{\circ} \leq v \leq 360^{\circ}$, medan man här "snurrar" utan begränsning, både positivt (moturs) och negativt (medurs). Förstår man definitionen av $\sin$, $\cos$ och $\tan$ i enhetscirkeln så är det egentligen inte så svårt.
Här http://www.geogebra.org/m/3187 finns en GeoGebraillustration där man kan "leka med" enhetscirkeln. Där finns lite mer information än nödvändigt, det räcker att ni fokuserar på hur $\sin$, $\cos$ och $\tan$ fungerar.
Trigonometriska ekvationer (sid 16-19)
Det finns, av naturliga skäl, tre grundläggande varianter,
$$
\sin x= \textrm{konstant}, \, \cos x= \textrm{konstant}, \, \tan x= \textrm{konstant}.
$$
Som vanligt vid ekvationslösning gäller det att få $x$:et fritt. Det väsentliga är att komma ihåg att man kan få oändligt många lösningar, i princip två för varje varv och sedan kan man ju "snurra". Man kan inte anta att t.ex. $x$ är en vinkel i en triangel, utan ALLA möjliga $x$-värden måste presenteras. Man observerar också att vissa ekvationer saknar lösning, ett "krav" på $\sin$ och $\cos$ är ju att man får värden mellan $-1$ och $1$. Grundekvationen för $\tan$ har däremot alltid lösningar.
Som vanligt är det helt avgörande att man förstår hur det fungerar i enhetscirkeln. Då blir ekvationslösningen logisk och ganska enkel, och man förstår varför det blir lite olika hantering beroende på vilken trigonometrisk funktion som är inblandad. Här är en illustration mha GeoGebra.
https://www.geogebra.org/m/rcenjwjt
Om ni vill se på bra YouTubegenomgångar kan ni leta i Anders Karlssons spellista Matteskolan.
Enhetscirkeln - symmetrier och exakta värden (sid 20-24)
Enhetscirkeln är "grymt" symmetrisk, den ser likadan ut vid varje rotation kring origo t.ex. Eftersom sin och cos är koordinater för punkter på denna cirkel finns det därmed en massa inbördes samband mellan olika sinus- och cosinusuttryck. Dessa lär man sig knappast utantill, utan rekonstruerar efter en snabb koll i enhetscirklen. Ingående vinkel $v$ ritar man lämpligen i första kvadranten, det räcker (nog) alltid.
Boken skriver också upp några exakta värden. Dessa återfinns i formelbladet så inget man lär sig utantill. Intressantare är så fall att se hur värden tas fram. Detta gör boken på sida 21. Vill man fundera på ett betydligt ''svårare värde'', kan man försöka sig på;
Problem
Bestäm det exakta värdet på $\sin 18^{\circ}$.
1.2 Trigonometriska formler
Trigonometriska ettan (sid 25-28)
En central "formel" är den så kallade trigonometriska ettan som säger att
Trigonometriska ettan
För alla vinklar $v$ gäller att $$ \sin^2 v + \cos ^2 v =1 $$
Beviset följer av definitionen av $\sin$ och $\cos$ i enhetscirkeln och Pythagoras sats. Observera att man av lathetsskäl har infört notationskonventionen $$ \sin^2v = (\sin v)^2 \textrm{ och } \cos ^2 v = (\cos v)^2. $$ Detta sistnämnda är alltså inget man kan bevisa utan som man bestämt!
En typisk uppgift kan sedan vara att t.ex. visa att $$ \frac{1}{\cos^2v}-\tan^2 v = 1 $$ Det är oftast enklast att börja med den "sunkigaste" sidan och försöka skriva om det till den mindre "sunkiga". I exemplet ovan startar man i så fall med vänsterledet och försöker skriva om det (utan att bryta mot några regler) till talet $1$.
I vissa svårare problem kan det vara så att båda sidorna är "sunkiga". En möjlig strategi kan i så fall vara att flytta över allt på en sida, få ett "supersunkigt" uttryck som man sedan ska visa är noll.
En annan typ av uppgift på dessa sidor är att växla mellan $\sin$ och $\cos$ utan att bestämma vinklar på vägen. T.ex. kan man fråga sig vilka värden $\cos v$ kan anta om man vet att $\sin v = 0{,}5$. Man skissar en enhetscirkel och ser att två värden kan komma ifråga (om det i uppgiften står ett villkor på vinkeln kan ibland enbart ett värde komma ifråga). Dessa kan sedan bestämmas med trigonometriska ettan.
Additions- och subtraktionsformlerna för sinus och cosinus (29-32)
Till sin samling av trigonometriska identiteter bör man lägga de så kallade additionsformlerna. Man kan t.ex. ha nytta av dessa när man överlagrar sinus- och cosinuskurvor i fysiken, och i samband med lösning av vissa ekvationer. Det är lätt att glömma formlernas exakta utseende så man kollar upp dem i t.ex. formelblad vid behov. Det viktiga är att veta när och hur de kan användas och eventuellt känna till hur man plockar fram dem/bevisar dem. Någon kan ju faktiskt ha snott ens formelblad!
Den "jobbiga" formeln att ta fram, om man gör som boken, är
$$
\cos(u-v)= \cos u \cos v+\sin u \sin v.
$$
Denna bevisar man genom att uttrycka ett avstånd mellan två punkter på två sätt, dels "direkt" med Pythagoras sats, dels med cosinussatsen. Sen flyttar man om lite $\ldots$. När man är klar med ovanstående följer övriga ganska lätt, man byter $v$ mot $-v$ och man använder t.ex. att $\cos v = \sin(90-v)$. Som vanligt går det bra att använda formlerna utan att känna till beviset. Beviset av additionsformlerna (i alla fall ''den första'') ligger på A/B-nivå.
De som är intresserade av bevisen kan kolla in Anders Karlssons YouTubeklipp, bokens bevis finns här (sök på "matteskolan additionsformler" för övriga). Han bevisar alla fyra varianterna och gör ett bra jobb som vanligt.
Men enligt mig är bokens bevis onaturligt/dåligt, så på lektionen rekonstruerar vi ett bättre.
Formler för dubbla vinkeln (33-34)
Detta är inget nytt utan en följd av de framplockade additionsformlerna. I likheten $$ \sin(u+v)=\sin u \cos v + \cos u \sin v, $$ som gäller för alla $u$ och $v$, är det ju möjligt att sätta $u=v$. Då fås $$ \sin 2v = \sin(v+v)= \sin v \cos v + \cos v \sin v= 2 \sin v \cos v. $$ Detta är formeln för dubbla vinkeln för sinus. På motsvarande sätt plockar man fram en formel för cosinus av dubbla vinkeln.
Vi skriver upp alla formlerna;
Additionsformler och formler för dubbla vinklen
$$ \sin(u+v)=\sin u \cos v+ \cos u \sin v\\ \sin(u-v)=\sin u \cos v - \cos v \sin v\\ \cos(u+v)=\cos u \cos v - \sin u \sin v\\ \cos(u-v)=\cos u \cos v + \sin u \sin v\\ \sin 2v =2 \sin v \cos v\\ \cos 2v = \cos^2 v - \sin^2 v $$Ekvationer och formler (35-37)
Egentligen inget nytt här, men ändå inte helt lätt. Man måste dels ha koll på sina trigonometriska omskrivningar, dels på ekvationslösning. Det är omöjligt att formulera en taktik som fungerar alltid men här kommer några tips:
1268 Om en ekvation byggs upp av en produkt som är lika med noll så måste en faktor vara noll. Multiplicera inte ihop, utan gå igenom fallen när faktorerna är lika med noll.
1272a Så fort man ser en "dubbel" vinkel är man beredd med sina additionsformler/formler för dubbla vinkeln.
1272b Detta är en andragradsekvation i "enheten" $\sin x$. Alltså sätter vi $t=\sin x$, löser en andragradsekvation i $t$ och bestämmer sedan $x$ utifrån eventuella $t$-värden.
1274 Fixa till så att "enheten" blir $\sin x$. Observera att det är sämre att "byta in" $\cos x$ (varför?).
1275 Kan man få en faktor $\sin 2x$ i vänsterledet? Om man lyckas med detta, flytta över allt till en sida! Kom ihåg att det är obra att dividera med uttryck som innehåller $x$. Det kan ju vara noll! Säkrare att bryta ut.
1.3 Trigonometriska funktioner
Sinus- och cosinuskurvor (sid 39-43)
Trigonometriska ekvationer och digitala verktyg (sid 44-45)
Förskjuta kurvor (sid 47-50)
Här blir det tre avsnitt i ett "nafs". Dom hänger ihop så ganska onaturligt att separera.
De trigonometriska funktionerna är användbara i andra sammanhang än de rent geometriska. Om man låter en vikt hänga i en svängande fjäder och ritar grafen med viktens avvikelsen från jämvikt på $y$-axeln och tiden på $x$-axeln kommer man att få en sinuskurva (om man bortser från t.ex. luftmotstånd, i annat fall dämpas svängningen).
Se här: https://www.youtube.com/watch?v=P-Umre5Np_0
Ett annat exempel är ljudvågor som också beter sig som en sinuskurva. Ljudvågen är longitudinell och rör sig/fortplantar sig som tryckskillnader i utbredningsriktningen.
Se här: https://www.physicsclassroom.com/Class/sound/u11l1c.cfm
Ytterligare ett exempel är ljus. Det kanske inte är en våg (vad är ljus?) men har i vart fall vissa egenskaper som påminner om vågens. Mer kan man får reda av någon som vet, kanske fysikläraren.
För att konstruera en "originalkurva" $y = \sin x$ eller $y = \cos x$ snurrar man runt i enhetscirkel, sätter av vinklar på $x$-axeln och motsvarande sinusvärden (eller cosinusvärden) i $y$-led. Prova själv i denna GeoGebrakonstruktion
http://www.geogebra.org/m/8028
https://www.geogebra.org/m/MjFgAfBv
Som uppvärmning inför kapitel 2.1 kan ni spana in denna GeoGebrafil
https://www.geogebra.org/classic/xfqfb4jh
Där ser ni grafen till $h(x)=\sin x$ (lila) ritad. Denna graf får man helt enkelt genom att ''räta ut'' rotationen i enhetscirkeln, dvs man sätter ut gradtal på $x$-axeln och motsvarande sinusvärden på $y$-axeln.
Precis som man kan se grafen till $(x-1)^2+2$ som en förflyttning av grafen till $x^2$ kan man förstå allmänna sinuskurvor som modifieringar av ''grundsinusen''. I GeoGebraillustrationen ser ni också den allmänna sinuskurvan (i grönt)
$$
f(x)=A \sin(k(x+v))+d
$$
ritad med glidare för parametrarna $A,k,v,d$. Målet är att begripa hur grafen hänger ihop med parametrarna. Fundera på följande och notera dina observationer/slutsatser;
- Hur påverkar $A$ grafen?
- Hur påverkar $k$ grafen?
- Hur påverkar $v$ grafen?
- Hur påverkar $d$ grafen?
När du varm i kläderna kan du kolla in denna sinuskurva och se om du kan tänka ut parametervärdena. Försök då arbeta utifrån enbart grafen och inte lek i GeoGebra.
https://drive.google.com/file/d/14tbPlSIfIIIuX0YfOSmaZ4AIjG-JNFCc/view?usp=sharing
Vad gör parametrarna?
$A$ anger kurvans maximala avvikelse från "jämvikt" eller mer precist halva avståndet mellan funktionens största och minsta värde. $A$ kan vara både positivt och negativt (negativt A speglar grafen i "jämviktsaxeln"), men amplituden är alltid absolutbeloppet av $A$ (amplituden är alltid icke-negativ).
$k$ anger hastighetsfaktor i förhållande till originalkurvan. Om t.ex. $k$ är $2$ "går allt dubbelt så fort" eller bättre så halveras perioden (och blir $180$ grader). Om $k$ är $0{,}5$ dubblas perioden (och blir $720$ grader). Allmänt gäller att perioden är $360/k$. Även negativa $k$ kan förekomma. Det funkar också som hastighetsfaktor men kurvan speglas dessutom i $y$-axeln (jämför $y=\sin x$ med $y=\sin(-x)$ för enklaste exemplet).
$v$ anger kurvans förskjutning i sidled (fasförskjutning). Observera att positivt $v$ ger förflyttning åt vänster, och vice versa. Detta är ju analogt med att t.ex. $y=(x-1)^2$ är kurvan $y=x^2$ flyttad ett steg åt höger.
$d$ anger hur mycket kurvan är flyttad i $y$-led.
Kurvan $y=a\sin x+b\cos x$ (sid 51-53)
Kanske lite överraskande visar det sig att om man överlagrar (addererar) en sinusfunktion och en consinusfunktion med samma period så får man en förskjuten sinuskurva (med nya amplitud) dvs givet $a$ och $b$ finns det tal $A$ och $v$ sådana att $$ a \sin x + b \cos x = A \sin(x+v) $$ Frågan blir då vilket samband som finns mellan bokstäverna. Som boken visar (sid 65-66) gäller att $$ A = a^2+b^2 \textrm{ och } \tan v = \frac{b}{a} \textrm{ med kvadrantkontroll} $$
Tangensfunktioner (sid 54-55)
Hittills har vi främst studerat sinus och cosinus. Nu är det dags för den sista trigonometriska funktionen, tangens.
Man ska kunna lösa ekvationer av typen $\tan x = k$ (med varianter). Man noterar att $\tan x $ anger lutningen vid vridningsvinkel $x$, så man får till grundekvationen två lösningar per varv. Dessa lösningar ligger mitt emot varandra, med avseende på origo, i enhetscirkeln. Samtliga lösningar fås genom att man hittar en lösning (t.ex. med hjälp av räknedosa) och lägger på halvvarv, $n \cdot 180^{\circ}$.
Man ska också skaffa sig lite känsla för grafen till funktionen $y=\tan x$. Kika gärna här
http://www.geogebra.org/m/8030
Observera att grafen (kurvan) har en period på $180^{\circ}$ och att $\tan x$ inte är definierat för $x = 90^{\circ} + n \cdot 180^{\circ}$. Detta beror i sin tur på att $\cos x = 0$ för dessa $x$-värden.
Precis som med $sin$ och $cos$ kan man lägga på konstanter och ändra på tangensgrafen. Det fungerar i princip på samma sätt, men tänk gärna igenom.
1.4 Radianer
Radianer och trigonometriska ekvationer (sid 57-61)
Vad som menas med ett varv är knappast oklart eller något som kan missuppfattats. Men varför ska man, vid vinkelmätning, dela upp varvet i $360$ grundenheter (så kallade grader)? Det finns inget matematiskt skäl till detta. I själva verket är det ganska ologiskt för oss. Att det ändå blivit så kan vi skylla på babylonierna och möjligen på det faktum att det går drygt $360$ dygn på ett år.
Ett, av matematiska skäl och sedan 1700-talet, bättre vinkelmått är radianer (t.ex. blir vissa deriveringsregler enklare). Man utgår från en enhetscirkel och säger helt enkelt att en vinkel är lika många radianer som motsvarande cirkelbåge är lång. Eftersom enhetscirkelns omkrets är $2 \pi$ så kommer alltså ett varv att utgöras av $2 \pi$ radianer.
Att växla mellan grader och radianer är en "bit kaka", eftersom
$$
1 \textrm{ grad} = \frac{2 \pi}{360} \textrm{ rad} = \frac{\pi}{180} \textrm{ rad}
$$
och
$$
1 \textrm{ rad} = \frac{180}{\pi} \textrm{ grader}
$$
Notera att man ofta utelämnar enheten radianer. Man talar om och skriver vinklar som t.ex. $\frac{\pi}{2}$ (vinkeln är alltså $90$ grader).
Wildberger (min favorit) har vissa synpunkter på radianbegreppet. Första delen med synpunkter finns här
https://www.youtube.com/watch?v=j7bxL2HgZbk
Sedan kan man roa sig med att lösa trigonometriska ekvationer. Notera att det är (såklart) ingen skillnad i lösningsmetod om man kör med grader eller radianer. Som träning kan det vara bra att använda radianer hela vägen men i princip kan man köra på med grader och byta först i slutsvaret (om man måste).
Det är ingen skillnad på graferna heller utöver att $x$-axeln kommer att skalas/graderas annorlunda i förhållande till grafen. Notera att GeoGebra förutsätter radianer och att man måste sätta ut en gradsymbol om man vill rita med grader.
Trigonometriska modeller (62-65)
Ingen ny matte, istället diverse mer eller mindre realistiska situationer som modelleras med trigonometrisk funktion. Boken tänker sig att man ska lösa en del utan digitalt hjälpmedel. Men lös gärna med också, bra att kunna till eventuella ''stökiga'' uppgifter på prov.
2.1 Deriveringsregler I
Repetition (sid 82-85)
Här gäller det att friska upp sina eventuella slumrande derivatakunskaper. T.ex. friskar man upp derivatans definition.
Derivatan av $\sin x$ och $\cos x$ (sid 86-89)
I detta avsnitt, och alltid när trigonometriska funktioner ska deriveras, förutsätts att vinkelenheter är radianer!
Detta avsnitt kan man hantera på två sätt. Antingen ett mycket omatematiskt men ändå tillräckligt för att räknas som godkänd, eller ett mer matematiskt där man försöker förstå varför det blir som det blir. I det förstnämnda fallet lär man sig att
Deriveringsregler
• $D(\sin x) = \cos x$
• $D(\cos x) = -\sin x$
Möjligen kan man övertyga sig om detta genom att kika på respektive graf och hur den lutar i olika punkter. Sedan tränar man reglerna till de sitter som berget!
Strävar man mot högre betyg är det alltså säkrast att försöka förstå. Man kan notera att derivatan av $\cos x$ får man ganska enkelt, när man känner till kedjeregeln på sid 90-93, vilket ni snart gör. Så svårigheten är att derivera $\sin x$.
För att ta fram derivatan av $\sin x $ har man nu nästan inget annat val än att utgå från derivatans definition och försöka bestämma detta gränsvärde. På vägen i räkningarna nyttjar man additionsformlerna (se bok för dessa steg). Slutligen återstår ett par problematiska gränsvärden som måste bestämmas, nämligen $$ \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} \textrm{ och } \lim_{h \to 0} \frac{\cos h -1}{h} $$ I boken troliggörs dessa värden numeriskt och man kan också troliggöra geometriskt i enhetscirkeln. På lektionen blir det istället en "fysikalisk" tolkning med hastighetsvektorer (som ligger nära det geometriska argumentet). Detta är kanske det mest intuitiva (och enkla) argumentet, men en nackdel är möjligen att man rundar såväl additionsformlerna som derivatans (algebraiska) definition (som jag lovat ni skulle få nytta av här). Men man kan kolla bokens framställning för ett alternativ.Ingetdera av argumenten/bevis som refererats ovan håller "på riktigt", men är så nära vi kan komma eftersom vi definierat sinus utifrån enhetscirkeln. Vill man ha vattentätare bevis får man definiera sinus "algebraiskare" (annan kurs).
Här, https://www.geogebra.org/m/r4bhxeB6, ser nu hur k-värdet till olika tangenter till sin(x) tycks "hamna på" cos(x). Så är också fallet men observera att denna illustration inte bevisar något.
Kedjeregeln (sid 90-93)
En sammansatt funktion har formen $$ f(g(x)) $$ vilket i princip utläses som att man först "gör" funktionen $g$ (den inre funktionen) på $x$:et och sedan funktionen $f$ (den yttre funktionen) på $g(x)$. Det blir kanske enklare med ett exempel. Betrakta funktionen $(x^2+1)^{10}$ där $g(x)=x^2+1$ är den inre funktionen och $f(u)=u^{10}$ är den yttre funktionen. Sätter vi in $g(x)$ som $u$ fås alltså den sammansatta funktionen $$ f(g(x))=(x^2+1)^{10} $$ Sådana sammansättningar deriveras som följer;
Kedjeregeln
Om funktionen $h(x)$ är sammansatt av $f(u)$ och $g(x)$, som $h(x)=f(g(x))$, så gäller att $$ h'(x)=(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) $$
Lite löst kan man uttrycka resultatet som att man ska bilda yttre derivatan gånger den inre derivatan. I exemplet får vi
Exempel
$$ D \left( (x^2+1)^{10} \right)=10(x^2+1)^{9} \cdot 2x = 20x(x^2+1)^9. $$ där sista steget bara är en "tillsnyggning".
Om man nu känner för att derivera $\cos x$ gör man omskrivningen $\cos x = \sin (\frac{\pi}{2}-x)$ eller $\cos x = \sin (x+\frac{\pi}{2})$ och vips så överförs derivatan av $\cos x$ till derivatan av $\sin x$ och $\frac{\pi}{2}-x$ eller $x+\frac{\pi}{2}$ (minns att vinklar anges i radianer i deriveringssammanhang). Den som vill kan själv fylla i detaljerna.
Bokens bevis av kedjeregeln är skissartad och kanske bättre om man vill förstå beviset är att tänka på derivator på ett lite annat sätt (som "töjningar" av tallinjen). Detta är utanför kursens ramar men om man ändå är intresserad kan man kolla här
https://www.youtube.com/watch?v=CfW845LNObM
2.2 Deriveringsregler II
Derivatan av en produkt och en kvot (sid 96-99)
Observera att jag använder den praktiska beteckningen $D$ för derivata, dvs $D(f)=f'$. Minns att summor och differenser får deriveras termvis, dvs $$ D(f+g)=D(f)+D(g),\, D(f-g)=D(f)-D(g) $$ Leibniz, som inte var vem som helst precis, trodde (kanske) i något ögonblick att produkter kunde deriveras faktorvis. Testa att "derivera" $f(x)=x^2=x \cdot x$ på detta sätt, och se att det inte blir $2x$. Efter lite eftertanke och kanske resonemang som utgick från derivatans definition insåg Leibniz att följande fungerar;
Derivatan av en produkt
$$ D(f \cdot g) = D(f) \cdot g + f \cdot D(g) $$
Ni kan vänta med att tänka igenom "bevisen" (metod 1 och 2 på sida 104-105) och först lösa ett antal uppgifter där ni använder regeln. Men beviset bör sedan åtminstone ögnas igenom.
Eftersom det finns en "regel" för att derivera produkter är det inte otänkbart att det finns en "regel" också för kvoter. Här kommer den;
Derivatan av en kvot
$$ D \left( \frac{f}{g} \right) = \frac{D(f)\cdot g - f \cdot D(g)}{g^2} $$
Bokens bevis bygger på produktregel och kedjeregel (kedjeregeln behövs egentligen inte om man modifierar lite). Ni måste kunna använda regeln även om ni inte har koll på beviset. Så träna!
Derivatan av exponentialfunktioner och logaritmfunktioner (sid 100-103)
Här illustreras en trevlig ide. Nämligen att om man känner till derivatan av en funktion så kan man bestämma derivatan till den inversa funktionen ("motsatsfunktionen"). Exempel på inversa funktioner är $f(x) = x^2$ och $g(x)=\sqrt{x}$. Den ena funktionen ogör den andra, dvs $(\sqrt{x})^2 = x$ och $\sqrt{x^2} = x$, i alla fall om $x \geq 0$. Nu råkar vi kunna derivera båda ovanstående funktioner så ett intressantare exempel är $f(x)=e^x$ och $g(x)=\ln x$ som är varandras inverser. Som boken visar i exempel 2 får man att
Derivatan av logaritmfunktionen
$$ D(\ln x) = \dfrac{1}{x} $$
med hjälp av kedjeregeln och derivatan av $e^x$. Denna derivata programmerar man sedan in i skallen och tränar användning på.
Begreppet differentialekvation (sid 104-105)
UTGÅR
Differentialekvationer och matematisk modeller
UTGÅR
2.3 Tillämpningar av deriveringsregler
Derivator och grafer (sid 108-112)
Detta har ni i princip redan gjort i Ma3c. Det handlar om att använda derivatan för att studera funktionsgrafer och bestämma största/minsta värde. Det enda nya är att ni nu kan fler funktioner. Kom ihåg att man behöver avgöra om ett visst värde är max eller min, t.ex. genom att studera andraderivatans tecken eller genom att göra en teckenstudie av derivatan. Det räcker inte att påstå att derivatan är noll.
Det är en del jobb med varje uppgift, men å andra sidan är det ungefär samma upplägg varje gång. Så gör hellre lite färre men ordentligt. Även om det inte är ok med GeoGebra på de flesta, så se till att ni ändå behärskar GeoGebralösning.
Derivator och tillämpningar (sid 113-116)
Ungefär samma sak som förra avsnittet med tillägget ett det handlar om "verkliga" problemsituationer.
Tillämpningar med kedjeregeln (sid 117-121)
Detta är i princip användning av kedjeregeln, fast man måste hantera "okända" funktioner i sin derivering.
Ett exempel (lite krystat och där notationen inte är exakt som bokens);
Exempel
Arean av en kvadrat ökar med 5 cm$^2/$s. Hur fort ökar sidlängden i det ögonblick $t = t_0$ då sidan är $10$ cm?
Vi vet (såklart) att $$ A(t)=s(t)^2 $$ Eftersom det efterfrågas hastighet deriverar vi ovanstående med avseende på $t$ och får $$ A'(t)=2\cdot s(t) \cdot s'(t) $$ Observera användningen av kedjeregeln då högerledet deriveras. Insättning av kända värden ger nu $$ 5=2 \cdot 10 \cdot s'(t_0) $$ ur vilket $s'(t_0)$ enkelt kan bestämmas, $$s'(t_0)=\frac{5}{2\cdot 10}=\frac{1}{4}=0{,}25 \textrm{ cm}/ \textrm{s}$$
Principen är alltså att man tecknar ett samband för storheter (som var och en t.ex. beror på tiden). Detta samband deriveras sedan (med avseende på tiden) och man erhåller ett samband mellan motsvarande derivator/förändringshastigheter.
Observera att boken använder ett alternativt skrivsätt för derivator, nämligen $$ A'(t)=\frac{dA}{dt}, \; s'(t)=\frac{ds}{dt}, \; A'(s)=\frac{dA}{ds} $$ I exemplet ovan kan kedjeregeln alltså formuleras $$ \frac{dA}{dt} = \frac{dA}{ds} \cdot \frac{ds}{dt} $$
Skrivsättet med ''fjutten'' $'$ kommer från Lagrange, medan kvoterna med $d$ är från Leibniz. Newton i sin tur körde med ''prickar'' och skrev derivatan som $\dot{f}$. Det sistnämnda förekommer sällan i matematiktexter, men fortfarande i fysiktexter.
2.4 Skissa grafer
Dominerande term (sid 125-128)
Innan man kör igång med den nästan automatiska (men halvsega) metoden med derivata etc. kan man tänka efter lite på grafens utseende. En sak man kan titta på är vilka termer som dominerar om $x$ är långt borta (dvs. $|x|$ stort) från respektive nära origo (dvs. $|x|$ litet).
Asymptoter (sid 129-132)
Om funktionens graf närmar sig en rät linje långt borta från origo kallar man denna linje en asymptot till grafen. Man letar efter lodräta asymptoter i $x$-värden där funktionsuttrycket inte är definierat (t.ex. om en nämnare blir noll). Vågräta eller sneda asymptoter finner man när $x \to \pm \infty$. I många fall blir det samma asymptot åt båda hållen. Men inte alltid så kolla alltid.
Har man lyckats lista ut asymptoterna utgör de sedan ett bra stöd när man ska skissa/begripa grafen.
Skissa grafer med hjälp av derivata och asymptoter (sid 133-136)
Bestäm asymptoter från algebraiskt uttryck och använd dessa för att skissa grafen.
Absolutbeloppet som funktion (sid 137-139)
UTGÅR
3.1 Integraler och areor
Primitiva funktioner (sid 150-153), Integralberäkningar (sid 154-158)
I en viss mening är hela avsnitt 3.1 en repetition av det som gjorts om integraler och primitiva funktioner i Matematik 3c. Det som bör kännas igen är att primitiv funktion är "baklängesderivata", att man kan använda primitiva funktioner för att räkna ut integraler och att integraler kan tolkas som area. Det mesta som är nytt är att det finns en hel räcka med nya typer av funktioner att utgå ifrån.
Notera att integral definieras (nästan) som en oändlig summa av areor av oändligt många oändligt smala rektanglar. Ganska komplicerat med andra ord. Det fina i kråksången är att analysens huvudsats säger att man ganska enkelt kan beräkna integraler med insättning av värden i en primitiv funktion. Men skilj alltså på vad som är en definition och vad som är en sats.
Area under x-axeln (sid 159-162)
Inget nytt utöver att areor under x-axeln räknas negativt av integralen (ty $f(x)< 0$ då). Så en rimligt geometrisk tolkning av integralen är ''area med tecken''.
Arean mellan två kurvor (sid 163-167)
Inget nytt här heller, i alla fall inte i förhållande till Ma3c. För att beräkna arean av område mellan två grafer bestämmer man var de skär och vilken om är överst. Säg att $f(x) \geq g(x)$ i aktuellt intervall. Arean kan då beräknas som
$$
\int_a^b f(x) \; dx - \int_a^b g(x) \; dx
$$
eller
$$
\int_a^b (f(x)- g(x)) \; dx
$$
vilket man tycker är roligast, eller det som är smidigast. Tänk efter varför båda funkar.
Vill man ha lite omväxling från bokens problem kan man kolla in detta https://nrich.maths.org/6412. En (i vissa fall svår tror jag) fortsättning är att sedan försöka ge algebraiska uttryck för graferna och jämföra m.h.a. GeoGebra.
3.2 Tillämpningar av integraler
Integraler och storheter (sid 168-172)
Här handlar det om "integralproblem med enheter/storheter", och finns ingen ny matematik egentligen. Som bekant gäller t.ex. att $s=v \cdot t$. Om $v$ råkar vara konstant kan man illustrera sträckan som arean av en rektangel i ett hastighet/tid-diagram. Samma formel gäller såklart också om $v=v(t)$ råkar variera med tiden. Sträckan tolkas fortfarande som arean under hastighetsgrafen, men denna area ges inte av en rektangelarea utan måste beräknas med en integral.
Sannolikhetsfördelning (sid 174-179)
Normalfördelningen beskriver, löst, hur ett statistiskt material (eller utfall i ett försök) fördelas runt medelvärdet.
Normalfördelningen
Normalfördelningsfunktionen ges av $$ f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma ^2}} $$
där $\mu$ är medelvärdet och $\sigma$ standardavvikelsen.
Se boken för utförligare beskrivning av ingredienserna. Det är jobbigt att knappa in funktionen i räknaren varje gång. Om man tvunget vill ha funktionen "inknappad" gör man detta en gång för alla och ser till så den ligger på plats till proven. Överlägset mycket smidigare är såklart GeoGebra (räknedosa är ju närmast stenålder nuförtiden). Malin Christersson har en trevlig sida här:
http://www.malinc.se/math/statistics/normal_distrsv.php
Och här finns en interaktiv normalfördelningskurva i GeoGebra (som man också kan komma åt i GeoGebra Classic och på prov):
https://www.geogebra.org/m/90878
Boken tycks påstå att $f(x)$ saknar primitiv funktion vilket inte är sant. Däremot saknas elementär primitiv funktion (någon som kan uttryckas "enkelt") så när man räknar ut integralerna gör man detta numeriskt med räknare/GeoGebra, eller kanske kollar i tabell.
Att normalfördelningskurvan är intressant i många fall är en konsekvens av Centrala gränsvärdessatsen som illustreras här
http://195.134.76.37/applets/AppletCentralLimit/Appl_CentralLimit2.html
Rotationsvolymer (sid 182-187)
I detta avsnitt ska vi lära oss att bestämma volymen av vissa kroppar med integraler. Det kommer att handla om så kallade rotationskroppar som fås genom att ett plant område roterar runt en fix axel/linje ut i en tredje dimension. Ska man förstå hur detta kan ge upphov till en integral behöver man först repetera lite om integralens definition.
Tidigare tecknade vi arean $A$ mellan en kurva (över x-axeln) och x-axeln som en integral. Man approximerar området med en massa smala rektanglar
$$
A \approx \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x.
$$
Låter man nu antalet rektanglar, $n$, gå mot oändligheten, eller $\Delta x$ gå mot noll får man rimligen ett värde på arean. I själva verket gör man definitionen
$$
A := \int_{a}^{b}f(x)dx
$$
där högerledet, integralen, betecknar summan i gränsläget och arean definieras som denna integral.
Observera att beteckningen och uttrycket
$$
\int_{a}^{b}f(x)dx = \lim_{n \to \infty, \Delta x \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x.
$$
inte behöver ha något med area att göra. Varje uttryck som är ett gränsläge av summor som ovan ger upphov till en integral.
Som boken beskriver kan man teckna volymen av t.ex. en rotationskropp (rotation runt x-axeln) genom att dela upp i en massa smala cylindrar/skivor och gå i gräns. Man får $$ \int_{a}^{b}A(x)dx = \lim_{n \to \infty, \Delta x \to 0} \sum_{i=1}^{n} A(x_i) \Delta x $$ där $A(x_i) \Delta x$ är volymen på en "tunn" cylinder (skiva) och där alltså $A(x)=\pi y(x)^2=\pi f(x)^2$ (kom ihåg att $y(x)$, $f(x)$ och även enbart $y$ är ''synonymer'') är tvärsnittsarean. Alltså
Rotationsvolym runt $x$-axeln
Rotationsvolymen beräknas med integralen $$\int_{a}^{b} \pi y(x)^2 \; dx = \int_{a}^{b} \pi y^2 \; dx = \int_{a}^{b} \pi f(x)^2 \; dx$$
Här finns en GeoGebraillustration av hur en rotationskropp ser ut
http://wikiskola.se/index.php?title=Volymsberäkning_med_integral
Integralen, oavsett var den kommer ifrån, kan sedan beräknas med primitiv funktion (förutsatt att vi kan finna en primitiv, och det kan vi nästan alltid i denna kurs)!
Rotationer runt $y$-axeln hanteras på motsvarande sätt. I princip handlar det bara om att "byta variabel" och lösa ut $x$ som funktion av $y$,
Rotationsvolym runt $y$-axeln
Rotationsvolymen beräknas med integralen $$\int_{a}^{b} \pi x(y)^2 \; dy = \int_{a}^{b} \pi x^2 \; dy$$ där uttrycket $x(y)$ anger $x$ som funktion $y$ (''$x$ utlöst''), och integrationen sker i $y$-led (i variabeln $y$).
4.1 Aritmetik med komplexa tal
Komplexa tal och imaginära enheten i (sid 202-205)
Det blir nog ett ''bildspel'' som introduktion och där dyker de olika talmängderna upp. Men läs också själv på sida 202. Talet $i$ sådant att $i^2=-1$ introduceras och det finns eftersom boken bestämmer det. Ett allmänt komplext tal betecknas ofta med bokstaven $z$ och har formen $z=a+bi$. Exempel på komplexa tal är $2-3i$, $-5i$ och $7$. Observera det sistnämnda, varje reellt tal blir också komplext eftersom man kan välja $b=0$. Räknereglerna, för de komplexa talen, fungerar precis likadant som för vanliga reella, med tillägget att $i^2=-1$.
I uttrycket $z=a+bi$ kallas $a$ realdelen av $z$ (skrivs Re $z=a$) och $b$ för imaginärdelen av $z$ (skrivs Im $z=b$). Om $z=2-3i$ får vi alltså Re $z=2$ och Im $z=-3$. Observera att imaginärdelen alltid är ett reellt tal!
Beräkningar, konjugat och absolutbelopp (sid 206-208)
Det dyker upp komplext konjugat $\overline{z}$ ($z$:s ''bästa kompis'') och absolutbelopp $|z|$ ($z$:s storlek). Kolla upp i boken.
Räkning med komplexa tal fungerar precis som "vanligt" beträffande addition och subtraktion. Två exempel (med ''lyxparenteser''):
Addition
$$ (1+2i)+(3-4i)=1+2i+3-4i=1+3+2i-4i\\=4-2i$$
Subtraktion
$$(3-2i)-(1+4i)=3-2i-1-4i=2-6i$$
Den som tycker sig känna igen vektorräkning tycker rätt.
Multiplikation och division med komplexa tal (sid 210-212)
Multiplikation är inga konstigheter:
Multiplikation
$$(2-i)(3+2i)=2\cdot 3 + 2 \cdot 2i- i \cdot 3 - i \cdot 2i \\ =6+4i-3i-2i^2=6+i + 2=8+i$$
Det enda som är nytt är alltså att $i^2$ ska ersättas med $-1$. Vad blir förresten $i^{2023}$? Vi "grupperar ihop" så många $i^2$ som möjligt och räknar på: $$i^{2023} = (i^{2})^{1011} \cdot i = (-1)^{1011} \cdot i = -i $$
Division är lite knepigare än övriga räknesätt. Metoden är att man ska förlänga med nämnarens konjugat för att mygla bort $i$ från nämnaren ($i$ i täljaren är ok däremot). Ett exempel:
Division
$$\frac{1-4i}{2+3i}=\frac{(1-4i)(2-3i)}{(2+3i)(2-3i)}=\frac{2-3i-8i+12i^2}{4-6i+6i-9i^2}\\=\frac{-10-11i}{13} = -\frac{10}{13}- \frac{11}{13}i$$Anders Karlsson (gymnasielärare på Ållebergsgymnasiet i Falköping) har producerat instruktiva genomgångar i YouTube. Se nedan:
Matteskolan: Introduktion till komplexa tal
Matteskolan: Definition av komplext tal, Rez, Imz, konjugat, samt punkter i komplexa talplanet
Matteskolan: Komplexa tal; de fyra räknesätten
Avstånd i det komplexa talplanet (sid 214-217)
Egentligen är det inte så mycket nytt i detta avsnitt. Det handlar om att förstå hur de algebraiska manipulationerna kan tolkas geometriskt. Cirklar kanske ser lite "ovanliga" ut, men det är en enkel princip. Man anger att avståndet mellan ett givet komplext tal och ett annat ska vara konstant, och vips så har man angivit en cirkel.
Kuriosa: De komplexa talen hanterar alltså rotationer och omskalningar i planet. Talsystemet som gör motsvarande i 3D kallas kvaternioner och blir, kanske överraskande, ett fyrdimensionellt talsystem. Kolla gärna Numberphile för en snabb "genomgång";
Numberphile: Fantastic Quaternions
4.2 Komplexa tal i polär form
Polär form (sid 218-221)
Det "gamla hederliga" koordinatsystemet med en $x$- och en $y$-axel är välbekant. Man anger koordinaterna för en punkt genom att tala om hur många steg i respektive riktning man ska förflytta sig.
Det finns inget som hindrar att man anger punkter i andra koordinatsystem. Ett användbart alternativ är det polära koordinatsystemet. Här anges en punkts koordinater genom att man anger avstånd från origo, $r$, och riktning, $v$, (i ett vinkelmått) räknat moturs från $x$-axeln. Observera att en och samma punkt kan ha olika koordinater i de olika koordinatsystemen. Observera också att den polära framställningen inte är entydig (vilka "problem" finns?).
Om man tänker efter så inser man följande samband mellan de Cartesiska koordinaterna $(x,y)$ och de polära $(r,v)$. $$ \begin{cases} x= r\cos v \\ y = r \sin v\end{cases} $$ och $$ \begin{cases} r^2=x^2+y^2 \\ \tan v = \dfrac{y}{x}, (\textrm{med kvadrantkontroll}) \end{cases} $$
Med den sistnämnda kvadrantkontrollen menas att t.ex. de Cartesiska koordinaterna $(3,4)$ och $(-3,-4)$ ger samma tangensekvation och man måste hålla koll på om vinkeln är korrekt eller ska "ändras" med $180$ grader.
Ovanstående kan genomföras oberoende av komplexa tal. Men eftersom vi har en tolkning av komplexa tal som punkter i ett koordinatsystem kan vi såklart använda den polära formen också till dessa. Vi har $$ z=x+iy = r \cos v + i r \sin v= r(\cos v + i \sin v) $$ där det sistnämnda uttrycket säges vara $z$ på polär form. Man väljer ofta vinkeln $v$ i intervallet $0^{\circ} \leq v < 360^{\circ}, 0 \leq v < 2 \pi$. I den polära formen kallas $r$ för beloppet av $z$ (eftersom det är just detta) och $v$ för argumentet av $z$.
Kolla gärna in Anders Karlsson!
Matteskolan: Komplexa tal polär form, introduktio
Matteskolan: Komplexa tal; övergång mellan rektangulär och polär form
Multiplikation och division i polär form (sid 222-224)
Multiplikation och division blir ganska enkelt på polär form och i vissa fall är det avsevärt enklare att arbeta på polär form än på Cartesisk (rektangulär). Poängen är, vilket också visas i boken på sida 198, att $$ |z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2| \textrm{ (beloppen multipliceras)} $$ och $$ \arg(z_1 \cdot z_2) = \arg z_1 + \arg z_2 \textrm{ (argumenten adderas)} $$ Motsvarande räkneregler gäller för division. Observera att räknereglerna för argument ser ut som de för logaritmer. Det kan vara ett sätt att minnas dem (även om det är två helt olika "saker" ur ett Ma4-perspektiv, men kanske inte ur ett "högre" perspektiv).
Observera också att addition och subtraktion inte är så lustig på polär form. Här håller man sig till den Cartesiska.
Multiplicera och dividera med i (sid 226-227)
Själva algebran med multiplikation och division med $i$ gjordes i förra avsnittet. Nu handlar det om den geometriska tolkningen, vilken blir lätt att begripa om man tänker polärt och på att $i$ har argumentet $90$ grader eller $\pi/2$ radianer. Multiplikation med $i$ roterar ett komplext tal $90$ grader ($\pi/2$ radianer) moturs medan division med $i$ roterar $90$ grader ($\pi/2$ radianer) roterar medurs.
Analogt fungerar det om man multiplicerar med ett godtyckligt komplext tal $w$, det blir rotation moturs arg$(w)$ radianer och omskalning med faktor $|w|$.
4.3 Potenser och komplexa tal
de Moivres formel (228-230)
Detta är i princip inget nytt utan en konsekvens av "räknereglerna" för belopp och argument som vi redan sett. Om $$ z=r \cdot (\cos v +i \sin v) $$ så följer ju att $$ |z^n| = |z|^n=r^n \textrm{ och } \arg z^n = n \cdot \arg z. $$ Alltså har vi;
de Moivres formel
Om $n$ är ett heltal så gäller att $$ z^n = r^n(\cos v + i \sin v)^n = r^n(\cos nv + i \sin nv) $$
Ekvationen $z^n=a$ (sid 231-233)
Även om Gauss visade att alla polynomekvationer har en komplex lösning betyder det inte att sådana lösningar är särskilt lättfunna i allmänhet. Vissa ekvationer kan man dock hantera, dels andragradsekvationer (mer om dessa senare), dels så kallade binomiska ekvationer. De senare ser ut såhär (jag föredrar $w$ framför $a$), $$ z^n=w $$ där $n$ är ett positivt heltal och $w$ ett komplext tal. De kallas binomiska eftersom de har två termer. För att lösa sådana ekvationer arbetar man med fördel på polär form. Man skriver om $w$ på polär form och sätter också $$ z=r(\cos v + i \sin v) $$ så att $$ z^n=r^n(\cos nv + i \sin nv) $$ Därefter jämför man belopp och argument och inser att beloppen måste vara lika, och att argumenten måste vara lika upp till "varvräkning". Se boken för utförliga exempel.
Eulers formel (sid 236-237)
Det visar sig rimligt att göra definitionen
Definition (Eulers formel)
$$ e^{iv}=\cos v + i \sin v $$Bland annat får man då räknelagar för potenser som ser ut som man hoppas. Som en konsekvens av ovanstående gäller $$ e^{-iv}= e^{i(-v)} = \cos (-v) + i \sin (-v) = \cos v - i \sin v. $$ Om man nu löser ut $\cos v$ och $\sin v$ så får man (alltså inga definitioner, utan härledda formler):
Omskrivning av Eulers formel
$$\cos v = \frac{e^{iv}+ e^{-iv}}{2}$$ och $$ \sin v = \frac{e^{iv}- e^{-iv}}{2i}. $$Därmed är uppgift 4343 löst!
Kuriosa: Nu kan man t.ex. roa sig med att bestämma $\cos i, \sin i, \ln i, i^i$ osv. Lite överraskande blir $i^i$ ett reellt tal. Eller snarare är detta en av möjligheterna. Allt detta är fantasieggande, men utanför kursens ramar.
Euler är inte vem som helst precis. Han är tidernas mest produktive matematiker och en av de mest kreativa. Ett av hans fantastiska resultat är lösningen av det så kallade Baselproblemet, nämligen att bestämma den oändliga summan $$ \frac{1}{1} + \frac{1}{4} +\frac{1}{9} +\frac{1}{16} + \frac{1}{25} + \ldots $$ Ni ser mönstret? Detta summerar till $$ \frac{\pi^2}{6}!!!! $$ Det är så snyggt så man börjar nästan gråta. Eulers bevis för detta är mycket fiffigt (och det räcker nästan med gymnasiekunskaper).
4.4 Polynomekvationer
Andragradsfunktioner (sid 239-241)
Inte mycket nytt under solen egentligen. Man repeterar lösning och hantering av andragradsekvationer. Den enda skillnaden mot tidigare är att man tillåter "roten ur negativa tal" m.h.a. $i$. Skulle detta inte fungera kan man sätta $z=x+iy$ och räkna på.
Polynomdivision (sid 242-245)
Hur många $13$ får plats i $1000$? Eftersom $$ 1000 = 76 \cdot 13 + 12 $$ är det tydligen $76$ stycken. Man kan formulera detta som att om man delar $1000$ med $13$ får man en kvot som är $76$ och en rest på $12$.
Samma sak fungerar för polynom. Hur många $x+2$ får t.ex. plats i $x^3-2x^2+3x-4$? Man utför då en polynomdivision (se bok eller lektion för teknik) och kommer fram till att $$ x^3-2x^2+3x-4 =(x+2)(x^2-4x+11) -26 $$ där $x^2-4x+11$ är kvoten och $26$ är resten. Kontrollera gärna att det stämmer med "hopmultiplikation" av högerledet.
I Ma4 använder vi polynomdivision för att lösa ekvationer. Mer om detta i nästa avsnitt. Polynomdivision är också ett verktyg när man studerar rationella funktioner (t.ex. grafer och primitiva funktioner till dem). Mer om detta på högskolan.
Faktorsatsen (sid 246-249)
Betrakta ekvationen $$ (x-1)(x-2)=x^2-3x+2 = 0. $$ Om man bara tittar på den sista likheten kanske man inte omedelbart ser lösningarna, utan man får "fläska på" med $pq$-formeln. Om man däremot tittar på ursprungsuttrycket (innan hopmultiplikation) ser man omedelbart att nollställena är $x=1$ och $x=2$. En faktor måste ju bli noll!
Alltså kan man dra slutsatsen att om $x-a$ är en faktor i ett polynom så måste $x=a$ vara ett nollställe. I själva verket gäller också omvändningen, nämligen att om ett polynom har ett nollställe $x=a$ så har det också en faktor $x-a$. Beviset bygger på att man begriper utfallet av en polynomdivision.
Allt detta sammanfattas i faktorsatsen;
Faktorsatsen
Ett polynom har en faktor $x-a \Leftrightarrow$ polynomet har ett nollställe $x=a$.
Boken nämner också en så kallad Restsats. Kolla upp i boken.
Polynomekvationer av högre grad (sid 251-254)
Här kommer ett "hopkok" av uppgifter på lösning av polynomekvationer. Man använder sig av faktorsats, polynomdivision, att rötter kommer i konjugerade par i vissa ekvationer. Alla (andra) metoder som fungerar är såklart användbara. Det finns ganska många problem så vi gör ett urval bland de svårare.
Vi avslutar kapitel 4 med några lite svårare problem från amerikanska mattetävlingar.
Problem
• Find $c$ if $a$, $b$, and $c$ are positive integers which satisfy $c=(a + bi)^3 - 107i$, where $i^2 = -1$.
• The complex number $z$ is equal to $9+bi$, where $b$ is a positive real number and $i^{2}=-1$. Given that the imaginary parts of $z^{2}$ and $z^{3}$ are the same, what is $b$ equal to?
• There is a complex number $z$ with imaginary part $164$ and a positive integer $n$ such that $$ \frac {z}{z + n} = 4i. $$ Find $n$.
• Let $z=a+bi$ be the complex number with $\vert z \vert = 5$ and $b > 0$ such that the distance between $(1+2i)z^3$ and $z^5$ is maximized, and let $z^4 = c+di$. Find $c+d$.
4.5 Bevis och bevismetoder
UTGÅR, eller snarare ingår ej.