Rogers matematik: Matematik 5, IV24

Planering	Formelblad	Fredriks filmer
Material/prov	Provbanksprov/bedömingsstöd	GeoGebra
	Ämnesplan	WolframAlpha
		Mahifi, Joakims sida
		Allakandos AI-lärare

Kommentarer till kursen/kursboken

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 2.1 2.2 2.3 3.1 3.2 3.3 3.4

1.1 Matematiska bevis

Definition, sats och bevis (sid 10-12)

Några begrepp

Axiom: en grundläggande ''sanning'' som man förutsätter utan bevis. Notera att ett axiom inte behöver var sant på riktigt. Det är bättre att tänka på det som en förutsättning eller regel som man bygger sin teori ifrån. Det fungerar ungefär som en regel i ett spel.
Definition: en beskrivning av ett begrepp. Notera att definitioner är inget som kan bevisas, det är bara en namnsättning. Gör man ''rätt'' definitioner underlättar det sedan för intuitionen och uppbyggnaden av teorin.
Sats: ett matematiskt påstående. Satserna formuleras inom en given teori och är rimligen sanna (annars får det heta något annat). Att bevisa, motivera eller förklara varför en viss sats är sann är inte alltid så enkelt. Ett väsentligt inslag i matematik är att göra just detta.
Bevis: ett logiskt argument, för en sats. Hur utförligt beviset ska vara beror på läsaren.

Direkta bevis (sid 13-15)

Boken presenterar två bevistyper, direkta och indirekta. De indirekta dyker upp först i avsnitt 1.5, så se längre ner. De direkta är rättframma i det att man utgår från det man vet och bevisar det man önskar (såklart!). Man påminns också om notatationen $\Leftrightarrow$ för ekvivalens och $\Rightarrow$ för implikation.

1.2 Talteori I

Delbarhet och primtal (sid 16-19)

Delbarhet är intimt förknippat med primtal, som är dom "minsta" multiplikativa byggstenarna. Väsentligt (men inte alls självklart eller uppenbart) är att varje heltal på ett entydigt sätt kan faktoriseras i primtal. Detta är så väsentligt att det kallas aritmetikens fundamentalsats och är så pass svårt att bevisa att det faller utanför kursens ramar.

Mer om delbarhet och primtal (sid 20-21)

Delbarhetsreglerna på sida 20 snabbar upp en del räkningar. De för delbarhet med 3 och 9 är möjligen svårast att förstå. Efter avsnittet om moduloräkning kommer det nog att klarna.

Gemensamma och icke-gemensamma faktorer (sid 24-26)

Notera att ni har bestämt MGM (minsta gemensam multipel) många gånger förut. Att bestämma minsta gemensam nämnare till ett antal bråk är samma som att bestämma MGM till just talen i nämnarna. Boken presenterar en metod som bygger på primtalsfaktorisering. Det finns snabbare metoder!

SGF står för största gemensamma faktor och även denna kan man bestämma med primtalsfaktorisering. Ett användbart samband kan vara: $SGF(a,b) \cdot MGM(a,b)= a\cdot b.$ Uppgift 2125 går ut på att tänka ut varför det funkar.

Problem

Låt m och n vara relativt prima positiva heltal. Bestäm $SGF(5^m+7^m,5^n+7^n)$ för alla värden på $m$ och $n$ .

1.3 Talteori II

Kongruens och modulo (sid 28-30)

Som boken skriver kan man lite slarvigt kalla detta "klockaritmetik", då man likställer tal som skiljer på en multipel av 12. Det motsvarar ju bara att man snurrat ett antal varv på klockan så visaren pekar ändå på samma tal. Aritmetiken består alltså bara av talen $0, 1,\ldots 10, 11$ , fast talen har inte entydig framställning (och ibland är det praktiskt att välja en annan representant). T.ex. så är $2 = 14 = 26 =-10$ i klockaritmetiken. Ett annat sätt att skriva detta (introducerat av Gauss) är $2 \equiv 14 \equiv 26 \equiv -10 \pmod{12}$ som utläses "två är kongruent med fjorton modulo tolv" (i alla fall den första kongruensen). Jämför detta med bråk där också samma tal kan ha olika representanter.

Modulär aritmetik - kongruensräkning (sid 31-34)

Det praktiska med moduloräkningen är att räknesätten $+,-,\cdot$ beter sig "bra". Man kan byta representanter när som helst i sina räkningar. Antag t.ex. att vi vill beräkna $31 \cdot 45 \pmod{12}$ . Ett alternativ är att räkna ut produkten och sedan byta representant $29 \cdot 45 = 1305 = 108 \cdot 12 + 9 \equiv 9 \pmod{12}$ Ett annat (och smidigare) alternativ är att först byta till bättre representanter (nära 0). Vi får $29 \cdot 45 \equiv 5 \cdot (-3) = -15 \equiv -3 \equiv 9 \pmod{12}$ som huvudräknas utan större ansträngning.

Observera att vi undvikit att tal om räknesättet division. Det visar sig lite mer komplicerat och utelämnas i kursen.

Observera slutligen att man inte behöver räkna modulo just 12 utan kan räkna modulo vilket positivt heltal som helst!

Problem

Visa att ekvationen $2x^6+y^7=11$ saknar heltalslösningar.

Tal i olika baser (sid 37-38)

Vårt sätt att beteckna tal är ett positionssystem i basen 10. Det finns inget matematiskt skäl till detta beteckningssätt, utan är nog en konsekvens av att vi har tio fingrar. Det finns inget som hindrar att man räknar i andra talbaser, t.ex. så är det vanligt med binära (basen 2) och hexadesimala (basen 16) system i "datorsammanhang". Babylonierna räkande i basen 60 (sexagesimalt), vilket lever kvar i våra enheter för tid (60 sekunder på en minut, 60 minuter på en timme).

Mer om tal i olika talbaser (sid 39-40)

Mer på samma ämne. Notera att om man skriver i en bas som är större än tio behöver man "extrasiffror", som ofta är bokstäver".

1.4 Talföljder

Inledning (sid 44-47)

Med en talföljd menas en följd av tal (såklart), såväl ändlig som oändlig. Exempel: $1, 65, 43, -3 , 42, -4, 7 , -2 ,3,-9,0$ $1,3,5,7,9,11, \ldots$ Med ... menas att följden fortsätter på samma sätt, och det blir läsarens uppgift att förstå mönstret.

Istället för att skriva upp själva följden kan man tala om hur elementen genereras. En möjlighet är på sluten/direkt/explicit form där elementen $a_n$ uttrycks som funktion av platsnumret $n$ . Vår andra följd ovan kan skrivas $a_n=2n-1$

Rekursiva talföljder (sid 48-50)

En annan möjlighet att beskriva hur elementen genereras är på rekursiv form där elementen uttrycks med hjälp av sin (sina) föregångare. Vår följd ovan kan skrivas $a_n=a_{n-1} +2, a_1 =1$ Observera att vi måste ange startvärdet annars kan vi inte starta vår rekursion. Ett intressant problem, som dock ligger utanför kursens ramar, är hur/om man kan översätta mellan rekursionsformler och slutna formler. Uppgift 2220 illustrerar några enkla fall.

Tema: summan av en geometrisk talföljd (sid 54-55)

En geometrisk talföljd genereras genom att man till ett godtyckligt startvärde successivt multiplicerar en konstant. Ett exempel på en sådan talföljd är $4, 12, 36, 108, 324, 972$ som startar med $4$ ( $=a_1$ ) och där man successivt multiplicerar med $3$ ( $=k$ ). Låt oss bestämma talföljdens summa $S=4+12+36+108+324+972$ på ett sätt som låter sig generaliseras.

Om vi bildar $3S$ fås $3S=12+36+108+324+972+2916$ dvs. samma följd så när som på första och sista termen ( $4$ och $2916$ ). Vi bildar nu $3S-S=2916-4$ eller $S=\frac{2916-4}{3-1}=1456$ Om man tänker igenom det generella fallet får man

Summaformeln för en geometrisk talföljd

Summan av en geometrisk talföljd med starttal

$a$ , kvot

$k \neq 1$ och med

$n$ termer ges av

$a+ak+ak^2+\ldots +ak^{n-1}=\frac{a \cdot(k^n-1)}{k-1} = \frac{a \cdot(1-k^n)}{1-k}$

Får man tid lust över kan man fundera på följande tävlingsproblem:

Problem

For $-1 < r < 1$ , let $S(r)$ denote the sum of the geometric series $12+12r+12r^2+12r^3+\cdots$

Let $a$ between $-1$ and $1$ satisfy $S(a)S(-a)=2016$ . Find $S(a)+S(-a)$ .

Initially Alex, Betty, and Charlie had a total of $444$ peanuts. Charlie had the most peanuts, and Alex had the least. The three numbers of peanuts that each person had formed a geometric progression. Alex eats $5$ of his peanuts, Betty eats $9$ of her peanuts, and Charlie eats $25$ of his peanuts. Now the three numbers of peanuts each person has forms an arithmetic progression. Find the number of peanuts Alex had initially.

1.5 Mer om matematiska bevis

Motsägelsebevis och motexempel(sid 58-60)

Lite slarvigt (räcker för denna kurs) så går ett motsägelsebevis ut på att man antar motsatsen till det man vill bevisa, visar att detta leder fram till en motsägelse (något ''omöjligt'') och drar då slutsatsen att motsatsen är omöjlig alltså måste "satsen" vara sann. Klassiska resultat som visas på detta sätt är att antalet primtal är oändligt och att $\sqrt{2}$ är irrationellt.

Indirekta bevis (sid 61-62)

Direkta bevis är rättframma i det att man utgår från det man vet och bevisar det man önskar. Med symboler visar man $P \Rightarrow Q$ genom att utgå från $P$ och härleda $Q$ . I ett indirekt bevis visar man impikationen $P \Rightarrow Q$ genom att i stället visa det likvärdiga påståendet $\neg Q \Rightarrow \neg P$ . Tänk efter varför det är likvärdigt. I vissa fall blir de indirekta bevisen kortare, och är då att föredra.

Anmärkning/överkurs

Det finns mer att säga om detta och bokens framställning är inte fullständig (och därför delvis obegriplig om man försöker tänka igenom ordentligt). T.ex. bör man skilja på två olika typer av motsägelsebevis. För utförligare förklaring av "engelskan" se här.

"Refutation by contradiction": Man antar $P$ och visar att $P \to \bot$ där $\bot$ står för Falsum . Då kan man (oavsett läggning) dra slutsatsen att $\neg P$ . I själva verket är påståendena $P \to \bot$ och $\neg P$ logiskt synonyma per definition. De klassiska bevisen om primtalens oändlighet och att $\sqrt{2}$ är irrationellt hamnar i denna kategori, eftersom man (rimligen) börjar med att definiera ändlighet och inte oändlighet samt rationalitet och inte irrationalitet.

"Proof by contradiction": Man antar $\neg P$ och visar att $\neg P \to \bot$ . Då kan man, oavsett om man accepterar ''lagen om uteslutande tredje'' eller inte, dra slutsatsen att $\neg \neg P$ (dvs att $P$ :s negation är falsk). Detta är en direkt användning av "Refutation by contradiction". I klassisk logik är det nu acceptabelt att dra slutsatsen att $P$ måste vara sann, ty här anses $P$ och $\neg \neg P$ vara samma sak (eftersom man accepterar ''lagen om uteslutande tredje''). I intuitionistisk/konstruktiv logik är det inte acceptabelt att dra denna slutsats, ty här anses $\neg \neg P$ vara ett svagare påstående än $P$ .

Indirekt bevis: I klassisk logik är påståendena $P \Rightarrow Q$ och $\neg Q \Rightarrow \neg P$ ekvivalenta. Men i den intuitionistiska logiken kan man inte dra slutsatsen $P \Rightarrow Q$ från $\neg Q \Rightarrow \neg P$ .

För den som är intresserad av denna överkurs rekommenderas följande artikel

Five stages of accepting constructive mathematics

Här kallas det indirekta beviset för "proof by contradiction" medan motsägelsebeviset kallas för "proof by negation". Och förvirringen blir total, fast länkade texten är såklart mycket bättre/mer korrekt. Men också avsevärt mycket svårare. Notera dock att vi kör med klassisk logik i kursen så ovanstående är verkligen kursivt.

Anmärkning/överkurs slut

Induktionsbevis (sid 63-68)

Detta är en viktig "bevisteknik" som man kan/måste använda om man vill visa att ett påstående är sant för alla positiva heltal. Ofta handlar det om en likhet men i princip kan det vara fråga om vilken sekvens av påståenden som helst (ett för varje naturligt tal). Att verifiera påståendena för ett heltal i taget (och bli klar) är ju omöjligt eftersom det finns oändligt många heltal.

Såhär fungerar det, i steg.

(1) Visa att påståendet är sant för ett första tal, vanligen $0$ eller $1$ . Säg $n=1$ .
(2) Antag att påståendet ät sant för ett fixerat men godtyckligt heltal $n=k$ .
(3) Visa nu att under förutsättningen från (2) så är påståendet sant för $n=k+1$ , dvs för nästa heltal.

Induktionsprincipen ger nu att påståendet måste vara sant för alla positiva heltal. Vi vet nämligen att det är sant för $n=1$ . Eftersom det är sant för $n=1$ så måste det enligt (2) och (3) vara sant för $n=2$ . Eftersom det nu är sant för $n=2$ måste det vara sant för $n=3$ osv.

Att detta "stegande" innebär att påståendet är sant för alla positiva heltal är lätt att tro på intuitivt. Vill man vara mer formell så garanteras det av ett av axiomen för de naturliga talen (man har alltså bestämt att de naturliga talen har den egenskapen att induktionsprincipen ska fungera).

Boken ger flera konkreta exempel på hur man genomför induktionsbevis. I vissa fall kan man kanske undvika dem (dvs. påstående kan bevisas utan induktion), men gör inte det här eftersom tanken är träning på just denna teknik.

Exempel på induktionsbevis

Visa att $1+3+5+ \ldots + (2n-1)= n^2$ för alla positiva heltal $n$ med ett induktionsbevis.

Vi ska alltså bevisa en summaformel för de

$n$ första udda talen och vi tänker på likheten som ett påstående

$P_n$ som alltså ska gälla för varje tal

$n=1,2,3,\ldots$

$P_n:1+3+5+ \ldots + (2n-1)= n^2$ Hur vi har kommit fram till denna summaformel har inget med induktionsbeviset att göra. Vi ska däremot bevisa att den är korrekt.

Vi inför beteckningar för vänsterled och högerled, $VL_n=1+2+3+\ldots + (2n-1)$ och $HL_n=n^2$ På kortfattad form ska vi alltså visa påståenden $P_n: VL_n=HL_n$ för alla positiva heltal $n$ . Detta gör vi alltså med ett induktionsbevis.

Steg (1); Vi visar att påstående är sant för det första talet, dvs. att $P_1$ är sant, $VL_1=1 \textrm{ och } HL_1=1^2=1$ Alltså gäller $P_1:VL_1=HL_1$ .

Steg (2); Antag att påståendet är sant för något heltal, säg heltalet $n=k$ . Vi antar alltså att $P_k:VL_k=HL_k \Leftrightarrow 1+3+5+\ldots + (2k-1) = k^2$ är sant.

Steg (3); Givet antagandet i (2) visar vi nu att påståndet är sant för nästa tal, $n=k+1$ , dvs. att $P_{k+1}: VL_{k+1}=HL_{k+1}$ är sant. Vi har följande räkningar, där vi markerar vid vilken likhet vi använder induktionsantagandet (2). Det underlättar läsningen och vi är säkra på att vi verkligen använder antagandet (annars är det inget induktionsbevis), $VL_{k+1}=1+3+5+\ldots +(2k-1)+(2(k+1)-1)\\ = VL_k+2k+1 \overset{\mathrm{(2)}}{=}HL_k+2k+1\\=k^2 + 2k+1=(k+1)^2=HL_{k+1}$

Vi är nu klara med de tre stegen och har visat att $P_1$ är sant och att om $P_k$ är sant så är också $P_{k+1}$ sant, för alla $k \geq 1$ . Induktionsaxiomet ger därmed att $P_n$ är sant för alla postiva heltal $n$ . Med andra ord gäller att $1+3+5+ \ldots + (2n-1)= n^2$ för alla positiva heltal $n$ .

2.1 Kombinatorik

Multiplikations- och additionsprincipen (sid 80-84)

Antag att en restaurang erbjuder $p$ st förrätter och $q$ stycken varmrätter. Om du vill välja en förrätt och en varmrätt kan detta göras på $p \cdot q$ olika sätt (multiplikationsprincipen). Om du vill välja en förrätt eller en varmrätt kan detta göras på $p+q$ olika sätt (additionsprincipen).

Tänk efter så ni är med på detta. Lite slarvigt kan man säga att och ger multiplikation och eller ger addition.

Notera att kombinatorik är såklart nära förknippat med sannolikhetslära. Vill man har reda på sannolikheten $P$ för en viss händelse beräknar man $P=\dfrac{\textrm{antalet gynnsamma utfall}}{\textrm{totala antalet utfall}}$ och talen i täljare och nämnare är ju kombinatoriska.

Permutationer och kombinationer (sid 85-88)

Formeln för permutationer och kombinationer (sid 89-93)

En permutation är en "uppräkning" av en mängd objekt i en viss ordning. Att beräkna antalet permutationer av $k$ element ur en mängd med $n$ element/objekt bygger på multiplikationsprincipen. Första elementet kan väljas på $n$ sätt, andra på $n-1$ sätt osv. till näst sista som kan väljas på $n-k+2$ sätt och det sista på $n-k+1$ sätt (tänk efter varför det inte blir $n-k$ ). Därmed får vi antalet permutationen av $k$ bland $n$ som $\; P(n,k)=n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+2) \cdot (n-k+1) = \dfrac{n!}{(n-k)!}$ där $n! = 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot (n-1) \cdot n$ som utläses " $n$ fakultet" ( $n$ factorial) är en praktisk beteckning.

Nu ska vi räkna antalet sätt att från $n$ element plocka ut $k$ stycken utan ordning. Ett sådant urval kallas en kombination. Tekniken är att man först räknar antalet permutationer $P(n,k)=\dfrac{n!}{(n-k)!}.$ Sedan noterar man att det finns $k!$ olika permutationer som ger upphov till samma oordnade utval (t.ex. ger $ABC$ , $ACB$ , $BAC$ , $BCA$ , $CAB$ , $CBA$ ) upphov till samma oordnade urval $\{A,B,C\}$ . Alltså grupperar vi ihop dessa permutationer till samma kombination och får då antalet kombinationer av $k$ element bland $n$ som $C(n,k)={n \choose k} = \dfrac{P(n,k)}{k!} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ där ${n \choose k}$ utläses " $n$ över $k$ ". Inför framtiden kan man också notera att uttrycket ${n \choose k}$ dyker upp i samband med binomialsatsen och därför ibland kallas binomialkoefficient.

Mer om kombinatorik (sid 95-97)

Kolla igenom bokens fyra fall med urval som är ordnat/oordnat och med/utan upprepning. Det är ganska lätt att räkna rätt när man väl har kodat av uppgiften på rätt sätt. Dock är det lätt hänt att man tänker fel utifrån frågeställningen, så bra att träna på att sortera fallen.

Som överkurs kan man fundera på situationerna när man ska placera $k$ bollar i $n$ lådor. På hur många sätt kan det göras om bollarna är lika/olika och lådorna är lika/olika? Igen blir det fyra fall varav några känns igen. De andra är besvärlig och leder fram till Stirlingtal.

2.2 Binomialsatsen och lådprincipen

Binomialsatsen (sid 100-105)

Hur man utvecklar (multiplicerar ihop) $(x+y)^2$ är säkert bekant; nämligen enligt kvadreringsregeln $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$ Binomialsatsen är i princip en formel för att utveckla $(x+y)^n$ för ett godtyckligt positivt heltal $n$ . T.ex. kan man få en kuberingsregel $(x+y)^3= (x+y)(x+y)(x+y)={3 \choose 0}x^3+{3 \choose 1}x^2y+{3 \choose 2} xy^2 + {3 \choose 3} y^3 \\= x^3+3x^2y+3xy^2+y^3.$ Man inser att koefficienten framför t.ex. $xy^2$ blir ${3 \choose 2}$ genom att tänka efter på hur många sätt man kan plocka ut två $y$ (och därmed ett $x$ ) ur de tre parenteserna. Koefficienten ${n \choose k}$ kallas binomialkoefficient.

Ett smidigt sätt att plocka fram binomialkoefficienterna är rekursivt via Pascals triangel. För att förstå att detta fungerar måste tänka igenom likheten ${n \choose k} = {n-1 \choose k} + {n-1 \choose k-1}$ vilket boken hjälper till med på sida 101-102. Det korta kombinatoriska argumentet på sida 102 är att föredra framför det algebraiska på samma sida.

Lådprincipen (sid 106-108)

På engelska heter denna princip Pigeonhole principle, och i Wikipediaartikeln kan man läsa mer om denna än vad boken presenterar.

Principen är enkel: Antag att man ska placera fem (eller fler) föremål i fyra lådor. Då säger lådprincipen att minst en låda måste innehålla minst två föremål (tänk igenom denna formulering).

Mer allmänt, om man placerar $n+1$ (eller fler) föremål i $n$ lådor så måste minst en låda innehålla minst två föremål.

Ännu mer allmänt,

Lådprincipen

Om man placerar $n \cdot k +1$ (eller fler) föremål i $n$ lådor så måste minst en låda innehålla minst $k+1$ föremål.

Om inte så hade man ju haft högst $n \cdot k$ föremål, vilket vi ju INTE hade.

Principen är enkel, men det som kan vara knepigt är att bestämma vad som ska fungera som lådor och vad som ska fungera som föremål. Här krävs rutin/träning och inte sällan en dos fantasi. Bokens uppgifter sätter inte detta på sin spets.

2.3 Mängdlära

Mängder - några begrepp (sid 109-112)

Här handlar det mest om att lära sig en del syntax (hur man skriver). Ganska tråkigt (men nödvändigt) att lära sig. Som kuriosa kan nämnas att vad som egentligen är en mängd och hur en sådan får definieras är mycket mer intrikat än boken medger, se t.ex. Barberarparadoxen eller Russells paradox.

Mängdoperationer och Venndiagram (sid 113-116)

Man inför en sorts "räknesätt" på mängder, nämligen union, snitt, differens och komplement. Man noterar att för att komplementet ska ha mening måste grundmängden vara klar, för de övriga är det inte nödvändigt.

Eftersom mängder kan ses som påsar med element i kan man tänka sig att representera dem grafiskt som "plana påsar". Man ritar helt enkelt en mängd som en cirkel (eller annan sluten kurva) och tänker sig att elementen ligger inuti cirkeln. Ett finare namn för dessa cirklar är Venndiagram (efter John Venn).

Ritar man lämpligt kan man illustrera snitt, unioner, komplement etc.

Mer om mängder (sid 117-121)

Just det, mer. Utöver några nya begrepp kan man notera principen för Inklusion-Exklusion, som man kan läsa mer om här. Bokens ruta på sida 117 är det enklaste fallet.

3.1 Inledning

Repetition av derivata (sid 136-140)

Friska upp minnet på Ma4-stoffet.

Repetition av primitiva funktioner (sid 141-143)

Fortsätt uppfriskningen

Diffentialekvationer - grundläggande begrepp (sid 144-146)

Enkla differentialekvationer (sid 148-150)

Många matematiska modeller av "verkligheten" (=fysik) formuleras med hjälp av differentialekvationer. Av någon anledning är det ofta enklare att formulera samband mellan en funktion och dess derivator än om funktionen själv. Vi kommer att se, om ett tag, att differentialekvationer modellerar t.ex. populationer, temperatur och fritt fall.

Vad är då en differentialekvation? Differential- innebär att det ska ingå något med derivator och -ekvation något obekant (som ofta ska listas ut). Det obekanta är en funktion $y=y(x)$ . Ett par exempel på differentialekvationer $y'=x^2, y'=y$

I båda fallen har man alltså en okänd funktion $y=y(x)$ (man brukar inte palla skriva ut $x$ -et, men ibland är det inte så dumt) och en ekvation som innehåller dess derivata. Målet är att finna funktionen, eller funktionerna, $y=y(x)$ . Det första fallet är Ma4-mässigt. Man tar helt enkelt primitiv och får $y=\frac{x^3}{3}+C$ Den andra ekvationen är lite svårare men om man minns sina derivator från Ma3c inser man att $y=Ce^x$ sitter som en keps. I avsnitt 3.2 kommer vi att lösa ekvationen "metodiskt".

Som ses ovan innehåller lösningarna en konstant $C$ (typiskt för första ordningens differentialekvationer). En sådan lösning kallas allmän lösning, vilket betyder att man funnit samtliga lösningar till differentialekvationen. Om man har ett villkor kan konstanten bestämmas. Om t.ex. $y'=y \textrm{ och } y(0)=3$ så fås den entydiga lösningen $y=3e^x$ .

Enkla differentialekvationer kan lösas med med Ma4-teknik. En annan enkel uppgiftstyp är att verifiera en lösning. Om någon kommer dragandes med ett förslag på en lösning av en differentialekvation är det ju ganska lätt att kolla att den verkligen stämmer. Någon påstår att $y=Ce^{-2x}+x/2-1/4$ är en lösning till differentialekvationen $y'+2y=x$ . Vi kollar genom att derivera och sätta in $y´+2y=-2Ce^{-2x}+1/2+2(Ce^{-2x}+x/2-1/4)=...=x$ så det stämmer.

Att lösa differentialekvationen och ha koll på att man hittat samtliga lösningar är såklart en annan femma, som vi återkommer till.

3.2 Differentialekvationer av första ordningen

Differentialekvationen y'+ay=0 (sid 151-153)

Som boken säger så går de flesta differentialekvationer inte att lösa ''exakt'', dvs man kan inte skriva upp lösningarna med de gamla vanliga funktionerna (även om diff.ekvationen i och för sig råkar ha en lösning). Några speciella diffar kan lösas ''exakt'' och en sådan ska vi kika på i detta avsnitt.

Differentialekvationer som kan skrivas på formen $y'+ay=0$ där $a$ är en konstant kallas för första ordningens (finns ''bara'' förstaderivata), linjär med konstanta koefficienter, homogen ( $0$ i högerledet). En enkel populationsmodell ger t.ex. upphov till en dylik ekvation. Lösningarna är inte särskilt svårfunna, man kontrollerar att $y=Ce^{-ax}$ funkar. Lite besvärligare är att övertyga sig om att detta också är samtliga lösningar, vilket boken reder ut på sida 152.

Differentialekvationen y'+ay=f(x) (sid 154-157)

Detta är alltså en generalisering av förra ''typen'', där man nu tillåter en godtycklig funktion $f(x)$ i högerledet. Om $f(x) \neq 0$ kallas diffentialekvationen inhomogen. Newtons avsvalningslag ger t.ex. upphov till denna typ av diff. Lösningsmetoden är

1. Finn den allmänna lösningen (samtliga lösningar) $y_h$ till motsvarande homogen ekvation $y'+ay=0$ .
2. Finn en partikulärlösning $y_p$ till den inhomogena ekvationen $y'+ay=f(x)$ . Detta görs ofta genom att utgå från en bra ''chansning''/ansats, som ofta påminner om $f(x)$ .
3. Samtliga lösningar till $y'+ay=f(x)$ ges nu av $y=y_h+y_p$ .

Boken har exempel på bra ansatser i en ruta på sid 155. Man kan notera att om högerledet innehåller $\sin$ eller $\cos$ så måste man i allmänhet göra en ansats som innehåller båda funktionerna ( $\sin$ och $\cos$ ).

Riktningsfält (sid 159-162)

Om differentialekvationen kan skrivas om på formen $y'=f(x,y)$ , dvs om $y'$ kan lösas ut och uttryckas i $x$ och $y$ kan man "illustrera" differentialekvationen med ett riktningsfält. Man räknar helt enkelt ut vad lutningen $y'=f(x,y)$ är i en given punkt $(x,y)$ och markerar denna lutning med ett litet streck i koordinatsystemet. En lösningskurva till differentialekvationen måste sedan följa riktningsfältet och man kan ganska lätt skissa sådana.

Själva ritandet av riktningsfält är långtråkigt för hand. Man kanske gör ett i livet för hand för att känna känslan (att det är långtråkigt), sedan fixar GeoGebra detta.

Eulers stegmetod (sid 163-165)

Man kan räkna sig fram i fältet med Eulers stegmetod. Metoden är ganska enkel men igen långtråkig att göra för hand. Gör någon för hand och sedan alltid i GeoGebra (som har någon form av förbättrad Eulers stegmetod). Det intressanta är vad metoden gör i princip, inte att genomföra räkningarna för hand.

3.3 Tillämpningar med diffentialekvationer av första ordningen

Enkla förändringsmodeller (sid 170-172)

I denna enkla modell är tillväxthastigheten proportionell mot antalet ''individer'', dvs $y'=ky$ Om $k>0$ är det fråga om något som ökar och om $k<0$ något som minskar. Typiska situationer är radioaktivt sönderfall (med halveringstid) och enkla populationsmodeller.

Tillväxt med begränsningar (sid 173-175)

En population kan inte bete sig som den enkla tillväxtmodellen i det långa loppet, ty antalet individer går då mot oändligheten (snabbt). En bättre modell får man om man tar hänsyn till att omgivningen kan "bära" en viss fix population $M$ . Efterhand som populationen närmar sig $M$ kommer förändringshastigheten att avta. Detta formulerar man med den logistiska differentialekvationen $y'=ky \left( 1-\frac{y}{M} \right)$ Den analytiska/exakta lösningen av denna ekvation (för hand) är utanför kursens ramar. Istället löser man den, vid behov, med GeoGebra. Men noterar att man kan föra vissa resonemang direkt från själva differentialekvationen.

Blandningsproblem (sid 177-178)

Principen är enkel. Man studerar en storhet $y(t)$ och har kännedom om "inflödeshastighet'' IN och "utflödeshastighet" UT av storheten. Förändringshastigheten $y'$ ges därför av $y'=IN-UT$ I blandningsproblemen kan man t.ex. studera en föroreningsmängd i vatten och mängden förorening i en liter i UT anses ''välblandad". Därav blandningsproblem.

Newtons avsvalningslag (sid 179-181)

Enligt Newtons avsvalningslag avsvalnar/uppvärms ett föremål med en hastighet som är proportionell mot temperaturskillnaden mellan föremålet och omgivningen (varför det är så kan man nog fråga sin fysiklärare). Alltså om $y(t)$ är föremålets temperatur och omgivningens konstanta temperatur är $T$ så fås $y'=-k(y-T)$ Man kan notera att $k>0$ alltid. Ty om $y-T > 0$ är det fråga om avsvalning och $k > 0$ (så att $y' < 0$ ) och om $y-T < 0$ är det fråga om uppvärmning och $k > 0$ .

Fall med luftmotstånd (sid 182-183)

Newton säger att $F_{res}=ma$ . För en fallande kropp som bromsas av luft innebär det, om vi låter $y$ beteckna kroppens hastighet och positiv riktning neråt att $my'=mg-ky \textrm{ eller } my'=mg-ky^2$ beroende på om bromskraften från luften är proportionell mot hastigheten (kan lösas exakt med kursens metoder) eller hastigheten i kvadrat (kan inte lösas exakt men däremot "numeriskt" i GeoGebra). Hastigheten i kvadrat är nog korrektare (fråga en fysiklärare). Det måste framgå i uppgiften vilken modell som avses.

Blandade tillämpningar (sid 185-186)

Kan inte komma på något att skriva, men ville skriva något.

3.4 Differentialekvationer av andra ordningen

Differentialekvationen y''+ay'+by=0 (sid 187-190)

Karakteristiska ekvationen har två icke-reella rötter (sid 191-192)

Blandade homogena differentialekvationer av andra ordningen (sid 193)

Dessa skiljer sig från föregående differentialekvation i ett avseende, nämligen att de innehåller en andraderivata. Men de är ändå så pass snarlika (linjära, homogena, med konstanta koefficienter) att lösningarna (och lösningsmetoderna) påminner om varandra.

För att lösa $y''+ay'+by=0$ ''gissar'' man att funktionstypen $y=e^{rx}$ funkar och sätter in denna. Man ser då att konstanten $r$ måste uppfylla den karakteristiska ekvation $r^2+ar+b=0.$ (derivator ersätts alltså med $r$ -potenser). Antag att denna ekvation har lösningarna $r_1$ och $r_2$ . Tre olika fall kan uppstå (och i boken framgår någorlunda hur det hänger ihop):

Om $r_1 \neq r_2$ båda är reella så ges den allmänna lösningen av $y=Ce^{r_1x}+De^{r_2x}.$ där $C$ och $D$ är konstanter. Om $r_1 = r_2=r$ är reellt så ges den allmänna lösningen av $y=(Cx+D)e^{rx}.$

Om $r_1 = \alpha+\beta i$ och $r_2=\alpha-\beta i$ är konjugerade och icke-reella tal så ges den allmänna lösningen av $y=e^{\alpha x}(C\sin \beta x + D \cos \beta x).$ Detta sistnämnda fall är det som beskriver en svängande fjäder.

Boken reder inte ut att man finner samtliga lösningar som ovan, utan det får man tro på (det visar sig vara sant).

Den inhomogena ekvationen y''+ay'+by=f(x) (sid 194-195)

Här kopierar man metoden från 3.2, nämligen

1. Finn den allmänna lösningen (samtliga lösningar) $y_h$ till motsvarande homogen ekvation $y''+ay'+by=0$ .
2. Finn en partikulärlösning $y_p$ till den inhomogena ekvationen $y'+ay'+by=f(x)$ . Detta görs ofta genom att utgå från en bra ''chansning''/ansats, som ofta påminner om $f(x)$ .
3. Samtliga lösningar till $y''+ay'+by=f(x)$ ges nu av $y=y_h+y_p$ .

Varför detta funkar är i princip ''linjär algebra'' och reds ut i annan kurs.

Digitala verktyg och differentialekvationer (sid 197)

I princip ingen ny matte i detta avsnitt. Däremot nya (och intressanta?) problem som man löser med GeoGebra. Lös inte diffarna för hand även om möjligt, däremot kan vissa delräkningar göras för hand/med räknare. Framtida prov kan innehålla diffar som måste behandlas med GeoGebra.

Vill man ha ännu mer träning på att lösa differentialekvationer, främst med GeoGebra, kan man välja och vraka bland uppgifterna i Robert Simons kompendium.

Det finns också ett par knivigare problem som man kan lämna in lösning på (enda sättet att få "facit").

Svängning (sid 198-200)

Positionen hos en fjäder/vikt som svänger (i $y$ -led) ges enligt Newtons andra lag av just $y''+ay'+by=f(x)$ där $b$ hänger iop med gravitationen, $b$ med luftmotståndet och $f(x)$ är en yttre kraft. Om dessa data väljs "dåligt" kan resonans (typ "förstärkning") uppstå och det kan få konsekvenser; Tacomabron.