| Planering | Formelblad | Fredriks filmer |
| Material/prov | Nationella prov, senaste | GeoGebra |
| Nationella prov, äldre | WolframAlpha | |
| Susannes NP-dokument | Mahifi, Joakims sida | |
| Ämnesplan |
Kommentarer till kursen/kursboken
1.1 1.2 1.3 2.1 2.2 2.3 3.1 3.2 3.3 4.1 4.2 4.3
1.1 Algebra och polynom
De mesta i detta avsnitt är (ska vara) bekant från tidigare kurs. Dessutom är det lite segt med enbart algebra. Därför kommer vi att svepa igenom avsnittet lite snabbare men kanske spränga in några "algebraträningslektioner" längre fram. Absolutbelopp är dock nytt.
Repetition - Algebra och aritmetik (sid 10-12)
Som sagt, repetition.
Polynom (sid 13-15)
Kolla upp vad som menas med ett polynom och vad som inte är ett polynom. Repetera beteckningen $p(x)$ och varianter på detta som t.ex. $p(a+1)$. Ett sätt och tänka är med tomma rutor eller cirklar som man sedan sätter in lämpliga "saker" i. Friska också upp minnet på att räkna med polynom, sätta in värden, göra matematik av text.
Använd gärna WolframAlpha för några "räkningar". Man skriver helt enkelt in det man känner för och så spottar WA ut en massa intressant. Notera gärna "svaren" och fråga om sådant som verkar intressant/oklart.
Problem
Hitta så många polynom som möjligt som uppfyller att $p(x)^2=p(x^2)$ (för alla $x$). Kan du motivera att du hittat samtliga?
Polynomekvationer (sid 17-20)
Redan gjort i Matematik 2c. Kan inte komma på något mer att skriva.
Problem
Hur många olika (reella) lösningar har ekvationen $$\left( x^2-4x+5 \right)^{x^2+x-30}=1 \; ?$$
Testa gärna att lösa några ekvationer med Symbolab. Man kan visa lösningsstegen.
Faktorisera polynom (sid 21-23)
Redan gjort i Matematik 2c. Kan inte komma på något mer att skriva.
Problem
Betrakta följande ''utmultiplikation'', $$(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)\\ = a_6x^6+a_5x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$$ Bestäm summan $a_0+a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6$.
Absolutbelopp (sid 26-28)
Vi börjar med den formella definitionen,
Definition
Absolutbeloppet $|x|$ av talet $x$ ges av $$|x|= \begin{cases} x, \textrm{ om } x \geq 0\\ -x, \textrm{ om } x < 0 \end{cases} $$
Om man istället är slarvig kan man säga att absolutbeloppet är en ''minusborttagare'', dvs $$ |3|=3 \textrm{ och } |-3|=3 $$ Om man ska lösa t.ex. $|x-5| < 2$ kan man utläsa olikheten som att ''avståndet från $x$ till $5$ på tallinjen är $2$ steg''. Ritar man en tallinje eller tänker efter inser man att lösningen är $3 < x < 7$. Om man istället har $|x+5| < 2$ är det smidigare att skriva om med minustecken och sedan köra med samma tolkning, dvs $$ |x+5|<2 \Leftrightarrow |x-(-5)|<2 $$ Tolkningen blir att ''avståndet från $x$ till $-5$ ska vara mindre än 2".
Om man råkar ut för mer komplicerade uttryck, t.ex. $|x^3-2x^2+4x-7| > 1$, innanför beloppsteckena är det ofta bäst att använda definitionen och falluppdela. Boken innehåller dock inget så komplicerat.
Till sist kan nämnas att man kan klara sig ganska bra utan absolutbelopp här, men när man introducerar komplexa tal (tvådimensionella) är det smidigt att använda.
1.2 Rationella uttryck
De mesta av räkningarna i detta avsnitt är nog bekant från tidigare kurs, så det blir glest med rekommenderade uppgifter. Den som känner sig osäker gör fler under terminen. Själva begreppet rationellt uttryck är dock nytt.
Vad menas med ett rationellt uttryck? (sid 29-30)
Med rationella tal (bråk) menar man tal på formen "heltal genom heltal". På motsvarande sätt är ett rationellt uttryck något som har formen "polynom genom polynom". Minns det elfte budet: du skall icke dela med noll. Det innebär att variabelvärden ($x$-värden) som gör nämnaren till noll måste exkluderas. Man säger att det rationella uttrycket inte är definierat för dessa $x$.
Förlängning och förkortning (sid 31-34)
Det är i princip ingen skillnad på att förlänga och förkorta rationella uttryck och förlänga och förkorta bråk. Alltså är mycket vunnet om man är säker i bråkräkning. Det som kan vara knepigt är att "se" hur man ska förlänga och vad som kan förkortas.
Förlänga behöver man göra t.ex. om man ska addera eller subtrahera rationella uttryck. Man studerar då nämnarna och försöker hitta en så liten gemensam nämnare som möjligt. Det betyder att man behöver ha med faktorerna från samtliga nämnare men inget mer.
Ska man förkorta ett rationellt uttryck behöver man i princip faktorisera täljare och nämnare. Sedan delar man bort gemensamma faktorer.
Ekvationer och rationella uttryck (sid 35-38)
Ännu mer av liknande typ. När man löser ekvationer är det ofta lämpligt att skriva leden var för sig på bråkform, "korsmultiplicera" bort nämnare osv.
Problem
Betrakta följande oortodoxa sätt att lösa andragradsekvationen $x^2+x+1=0$.
(1) Flytta över $x^2$; $x+1=-x^2$.
(2) Flytta (istället) över $1$ och faktorisera; $x(x+1)=-1$.
(3) Ersätt $x+1$ med $-x^2$ i (2) och snygga till; $x \cdot (-x^2) = -1 \Leftrightarrow x^3=1$.
(4) Lös ekvationen $x^3=1$ och få $x=1$.
(5) Kontrollera om $x=1$ är en lösning till ekvationen $x^2+x+1=0$, bli besviken och fundera på vad som gått fel.
Multiplicera och dividera rationella uttryck (sid 39-41)
Samma gamla visa; är man säker på vanlig hederlig bråkräkning så ligger man bra till. Kom ihåg att undersöka om det är möjligt att förkorta bort faktorer innan ni sätter igång och multiplicera ihop.
1.3 Funktioner
Funktionsbegreppet (sid 42-45)
Inte så mycket nytt under solen jämfört med Ma2c. Ni kan passa på att friska upp minnet på begreppen Definitionsmängd och Värdemängd. Notera att med definitionsmängd avses alla $x$ som ger ett uttryck mening, om inte annat anges explicit. Så i 1313 gäller det att ange alla $x$ för vilka uttryck kan beräknas. Det gäller också att begripa sig på funktionssymbolen $f(x)$.
Polynomfunktioner (sid 47-51)
Vad ett polynom är har ni förhoppningsvis koll på nu (annars bläddra tillbaka i boken). Här gäller det att känna lite på graferna till polynomfunktioner, och lära sig några nya begrepp kopplat till grafiken.
Andragradspolynomens grafer har ni bra koll på. Nästa nivå är tredjegradspolynomen och fjärdegradspolynomen. För varje "steg" man ökar kan man få större variation och komplexitet hos grafen. Ett instrument för att begripa grafer är derivatan (som kommer i kapitel 2). Men här handlar det snarare om att få en känsla i grova drag. Ett viktigt hjälpmedel är GeoGebra. Kombinara räkna-rita-tänk genomgående.
Tangent och sekant (sid 53-55)
Sekant och dess ''övergång'' till tangent kommer i princip att ge oss derivatabegreppet om ett litet tag, så därför intressanta här. En sekant är en linje som går genom två punkter på en graf, en tangent en linje som tangerar en graf i en punkt (nästa cirkelresonemang men ni fattar). Att räkna ut lutning $k$ på sekant är inget nytt, nämligen $$ k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{\Delta y}{\Delta x} $$ Att räkna ut lutningen på en tangent (utan att rita) är svårare och leder oss till just derivatabegreppet om ett tag.
Kontinuerliga funktioner (sid 56-58)
Kontinuitet är ett centralt begrepp hos en funktion. Den intuitiva "definitionen" är enkel, nämligen att man kan rita grafen utan att lyfta pennan i definitionsmängden. Observera den sista brasklappen vilket innebär att exempel D på sida 57 räknas som kontinuerlig. Den vattentäta matematiska beskrivningen av kontinuitet i ''punkten'' $x$ (skrivet i predikatlogik) är $$ \forall \epsilon \exists \delta \forall y (|x-y| < \delta \rightarrow |f(x) - f(y)| < \epsilon) $$ men det lägger vi snabbt åt sidan (långt utanför kursens ramar).
En väsentlig egenskap hos en funktion som är kontinuerlig och definierad på ett intervall är att funktionen antar alla mellanliggande värden. T.ex. garanterar detta att det finns en lösning till ekvationen $p(x)=x^3-2x+4x-1=0$ i intervallet $0 \leq x \leq 1$ eftersom $p(0)=-1$ och $p(1)=2$. Att ange lösningen är däremot svårare.
Boken pratar också om diskret funktion. En sådan har en definitionsmängd som är "punktformig"/åtskild/separerad. För en sådan är begreppen kontinuitet (och derivata) närmast meningslösa/ointressanta.
Gränsvärde (sid 59-62)
Här handlar det om "närmanden", och man studerar vad som händer med funktionsvärden när variabeln närmar sig ett givet värde. T.ex. kan man fråga sig vad "som händer" med $$ f(x) = x^2 $$ då $x$ närmar sig $2$. Sätter man in värden på $x$ som är allt närmre $2$ ser man att $x^2$ närmar sig $4$. Denna observation skriver man $$ \lim_{x \to 2} (x^2) = 4 $$ och man säger att gränsvärdet av $x^2$ då $x$ går mot $2$ är $4$. Observera att $x$ aldrig blir $2$ och att $x^2$ aldrig blir $4$. Vad man påstår är istället att $x^2$ kan komma hur nära $4$ som helst om bara värdet på $x$ är tillräckligt nära $2$.
För att räkna ut gränsvärdet kan man i många fall helt enkelt sätta in det tal som $x$ närmar sig. Dock fungerar det inte om man, vid sådan insättning, skulle få noll i en nämnare. Då får man "se upp" och angripa problemet på något annat sätt, ofta genom en förenkling av det ursprungliga uttrycket.
Matteskolan: gränsvärde
2.1 Ändringskvoter
Ändringskvoter (sid 74-78)
Om man tillryggalägger en viss sträcka $\Delta s $ på en viss tid $\Delta t$ så blir (såklart) medelhastigheten eller den genomsnittliga förändringshastigheten
$$
v=\frac{\Delta s}{\Delta t}
$$
På samma sätt kan man tala om den genomsnittliga förändringshastigheten
$$
\frac{\Delta y}{\Delta x}
$$
om $y$ är en variabel som beror på $x$. Om funktionens graf är en rät linje känner ni igen ovanstående som linjens lutning ($k$-värde). Observera att denna blir samma överallt på en linje (men inte på kurvor/grafer i allmänhet). Om man slutligen tänker sig att $y=f(x)$ så ges den genomsnittliga förändringshastigheten då $x$ går från $a$ till $b$ av
$$
\frac{f(b)-f(a)}{b-a}
$$
Tänk efter så ni inser att de tre formuleringarna "fångar" samma sak!
I uppgifterna nedan handlar det om att just räkna ut diverse förändringshastigheter. Värden kan man behöva räkna ut eller läsa av i graf eller tabell.
Begreppet derivata (sid 79-83)
Här handlar det om derivatans geometriska tolkning som lutning av tangent till kurva och fysikaliska som hastighet. Själva prim-beteckningen i $f'$ och namnet derivata lär ha myntats av Lagrange på 1700-talet.
Numerisk derivering och derivering med digitala verktyg (sid 84-87)
I derivatans definition, som kommer i nästa avsnitt, tecknar man en differenskvot och låter (ett visst) $h \to 0$. Denna gränsprocess kräver lite eftertanke och oftast algebraiska omskrivningar. I detta avsnitt tecknar man istället sekantlutningar nära en punkt på olika sätt och sätter in små värden på $h$ för att få ett ungefärlig värde på lutningen (derivatan).
Så antag att vi söker ett ungefärlig värde på en grafs lutning eller ett ''fenomens hastighet'' i en viss punkt $P$. Då kan man sätta upp ett par olika differenskvoter. Differenskvot framåt
$$
f'(x) \approx \frac{f(x+h)- f(x)}{h}
$$
får man genom att välja en andra punkt $h$ (fjuttiga) enheter till höger om $P$ på kurvan och beräkna differenskvoten. Det finns emellertid inget som hindrar att man väljer punkten $h$ enheter till vänster. Man får då
$$
f'(x) \approx \frac{f(x)- f(x-h)}{h}
$$
Observera ordningen i täljaren.
Ett annat sätt att angripa problem med lutningen i en punkt på en kurva är att betrakta ett intervall symmetriskt kring den aktuella punkten och successivt minska detta intervall. Man får
$$
f'(x) \approx \frac{f(x+h)- f(x-h)}{2h}
$$
Observera att skillnaden mellan $x+h$ och $x-h$ är $2h$, därav nämnaren. Om det är fråga om att göra numeriska approximationer av derivatan är ofta den sistnämnda symmetriska varianten bäst.
Se till så ni kan "derivera" med GeoGebra. Räknaren kan också lite men givetvis är GeoGebra ett mycket bättre verktyg. Om man graderar en potatis, räknaren och GeoGebra som hjälpmedel för derivering/illustration så hamnar räknaren närmre potatisen!
Derivatans definition (sid 90-91)
För att bestämma lutningen i en punkt har vi tidigare studerat sekanter till en kurva. Genom att hålla en punkt fixerad och låta den andra närma sig den fixerade punkten "obegränsat" erhåller man tangentens lutning som gränsvärdet av sekanternas lutningar. Att formalisera detta (är $h$ lika med $0$ eller är det inte?) tog ganska lång tid och inblandade de allra största matematikerna. Om det tar några veckor för er att fatta så är det alltså lugnt :-). Ideen är i vilket fall att definiera derivatan som gränsvärdet av differenskvoten då $h$ går mot noll, dvs
Definition
Derivatan $f'(x)$ av funktionen $f(x)$ (i ''punkten'' $x$) ges av gränsvärdet $$ f'(x):=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$
Att det står $:=$ istället för enbart $=$ betyder att det är fråga om en definition och alltså inget man kan räkna ut. När man sedan räknar i praktiken innebär det att man räknar på med h, förenklar (om det går) och när h väl är borta från nämnaren så sätter man det (h:et alltså) lika med noll. Man kan därmed lösa många problem även om själva gränsvärdetsbegreppet får hänga i luften genom hela gymnasiet.
Här är Anders Karlssons i sitt esse förresten:
Matteskolan: Derivatans definition till skön(?) musik
2.2 Deriveringsregler
Derivatan av polynomfunktioner (sid 93-96)
Kolla upp så ni vet vad ett polynom är, annars är risken att ni använder fel regler vid fel tillfällen. Överhuvudtaget så behandlas bevisen för räkneregler för derivator mycket sparsamt i gymnasiekursen, det handlar i princip om att motivera allmänna "regler" med enkla exempel. Framöver är det fritt fram att använda regler när ni deriverar, ni bör dock kunna härleda derivatan för andragradsfunktioner och eventuellt tredjegradsfunktioner (om det skulle efterfrågas).
Mer om derivatan av polynomfunktioner (sid 97-98)
Inte mycket nytt här, men notera de olika sätten att beteckna derivata.
Derivatan av potensfunktioner (sid 102-104)
En potensfunktion har formen $f(x)=x^a$ där $a$ är vilket tal som helst. Om $a$ råkar vara ett positivt heltal får vi ett polynom och vi vet att derivatan då blir $f'(x)=ax^{a-1}$. Det visar sig (men är ingalunda självklart) att samma deriveringsregel gäller även om $a$ inte är ett heltal, dvs
Deriveringsregel
Det gäller att $$ f(x)=x^a \Rightarrow f'(x)=ax^{a-1} $$ för alla värden på $a$.
Observera att om $a=1/2$ får vi $f(x)=x^{1/2}=\sqrt{x}$ och om $a=-1$ får vi $f(x)=1/x$, funktioner som vi nu alltså kan derivera.
Den som siktar på högsta betyget kan sätta sig in i bevisen på sida 102, för övriga räcker det att kunna använda deriveringsregeln.
Tangenter och derivata (sid 105-107)
Minns att derivatan kan tolkas som lutningen hos en graf till $y=f(x)$, eller mer precist som lutningen på tangenten till grafen i en punkt $P:(a,f(a))$. En linje har som bekant ekvationen $y=kx+m$. Om det är en tangent gäller alltså att $k=f'(a)$, och $m$ bestämmer man genom att ''fästa'' tangenten i tangeringspunkten $P$. Man kan tänka på tangenten som den bästa linjära approximationen av funktionen nära tangeringspunkten.
2.3 Derivatan av exponentialfunktionen
Exponentialfunktioner (sid 109-111)
Dessa behandlas redan i Ma1c och har formen $$ f(x)=C \cdot a^x $$ där $C$ och $a > 0$ är konstanter. Kolla gärna i GeoGebra hur $C$ och $a$ påverkar grafen och kan läsas av i grafen. Blanda inte ihop dessa med potensfunktionerna, de har bland annat olika "regler" vid derivering. Situationer som uppvisar exponentiella avtagande/växande (och därmed modelleras med exponentialfunktion) är procentuella ökningar/minskningar, populationer, temperatur (vid avsvalning/uppvärmning). Mer om detta i Matematik 5.
Talet $e$ och derivatan av $f(x)=e^{kx}$ (sid 113-116)
Talet $e$ och derivatan av exponentialfunktioner har med nedanstående (idealiserade) problem att göra.
Problem
En bank i Ankeborg utbetalar 100% årlig ränta (såklart orealistiskt men det blir enklare att räkna, och principen är densamma). Om vi sätter in 100 kronor vid årets början och tar ut dessa ett år senare har vi såklart 200 kronor. Men nu ska vi tjäna pengar genom att "arbeta" lite:
• Anta att banken betalar 50% ränta på pengarna per halvår, vilket ju är rimligt. Vi sätter in vår 100-lapp, tar ut pengarna efter ett halvår och har då 150 kronor. Dessa sätter vi genast in igen och får 50% ränta på 150 kronor under andra halvåret. Vid årets slut har vi 225 kronor!
• Vi har kommit på ett knep, det gäller att ta ut och sätta in pengar flera gånger under året. Hur stor blir behållningen vid årets slut om vi tar ut pengarna månadsvis, veckovis eller sekundvis? Vi förutsätter att banken utbetalar t.ex. $100/12 \; \%$ i ränta om pengarna står en månad etc..
• Vår pengartörst har inga gränser så vi programmerar en dator som kan göra i princip omedelbara uttag och insättningar. Det betyder att vi kan låta pengarna stå på kontot i $\Delta t$ år och låta $\Delta t$ gå mot noll. Hur mycket pengar har vi i så fall efter ett år?
I exponentialfunktionen $$ f(x)=C \cdot a^x $$ kan man tänka sig olika värden på basen $a$ och man kan tycka att $a =10$ är mest naturligt då man får $f(x)=C \cdot 10^x$, vilken hänger ihop med $10$-logaritmen lg som vi stött på tidigare. Det visar sig dock att talet $$ e \approx 2.718282828459045 \ldots $$ faktiskt är enklare att arbeta med. Det viktigaste skälet (just nu) är att $$ f(x)=e^x \Rightarrow f'(x)=e^x $$ dvs med basen $e$ blir exponentialfunktionen sin egen derivata! Boken noterar också (utan bevis) att: $$ f(x)=e^{kx} \Rightarrow f'(x)=ke^{kx} $$ vilket alltså betyder att om man har konstant gånger $x$ i exponenten så kommer konstanten ner som faktor medan EXPONENTEN BLIR INTAKT. Om man råkar minska med ett (som i potensfunktioner) som kommer provpoängen att minska med minst en!
Talet $e$ dyker upp i många en del andra sammanhang som dock ligger utanför kursens ramar.
Naturliga logaritmer (sid 117-120)
Eftersom derivatan av $e^x$ blir särskilt enkel (nämligen sig själv) så kan det vara lämpligt att arbeta med basen $e$ som någon sorts "standardbas". När man väl bestämt sig för detta är det lika naturligt att arbeta med logaritmer i basen $e$ (som i basen $10$). En sådan logaritm skrivs $\ln a$, där $\ln a$ alltså är det tal som $e$ ska upphöjas med för att man ska få $a$. Om basen $e$ är naturlig så är det lika bra att kalla $\ln$ för den naturliga logaritmen. Logaritmlagarna (och bevisen av dem) är oberoende av bas, och alltså gäller
Logaritmlagar
$$ \ln (a \cdot b)=\ln a + \ln b \\ \ln(a/b) = \ln a - \ln b \\ \ln a^p = p \ln a $$
Däremot låter man bli att hitta på egna räkneregler!!
Historiskt dök inte logaritmen $\ln$ upp som ovan utan i samband med att man räknade area under $y=1/x$. Så småningom förstod man att den inversa funktionen var en exponentialfunktion i en intressant bas ($e$).
Derivatan av $f(x)=a^x$ (sid 121-122)
Denna derivata kommer man åt med en omskrivning (som kanske känns långsökt men som faktiskt är användbar i flera sammanhang) och derivatan med $e$ i basen. Vi gör följande omskrivning $$ a^x=e^{\ln a^x} = e^{x \ln a} $$ Här är $\ln a$ en konstant och kan tänkas på som $k=\ln a$. Man använder sedan deriveringsregeln från sida 99 och får sammantaget $$ D(a^x)=D \left( e^{x \ln a} \right) = \ln a \cdot e^{x \ln a} = \ln a \cdot a^x $$ där man i sista steget skriver om i basen $a$ igen. Vi sätter regeln i en ruta;
Deriveringsregel
Det gäller att $$ f(x)=a^x \Rightarrow f'(x)=a^x \cdot \ln a $$ för alla $a > 0$.
Deriverar man alltså en exponentialfunktion med annan bas än $e$ (nämligen basen $a$) kommer man förutom funktionen själv få med en faktor $\ln a$ (som alltså är en konstant).
Deriveringsorgie 1: Derivera
$2x^2+5x-3x^6$
$\sqrt{x^3}$
$4x^3-5x^5-x^6+1$
$e^{-2x}$
$\dfrac{3 \sqrt{x}}{2}$
$\dfrac{x^2}{3}-x$
$\dfrac{1}{e^{3x}}$
$x^2+1000+e^x$
$\dfrac{3x+6x^3}{3}$
$\dfrac{e^{x/2}}{5}$
$2x^{-2}+5x^{-1}-3x^6$
$x(x+1)$
$x^{1/4}-x^{-1}$
$e^{\pi}$
$\dfrac{2x}{x^{10}}$
$ \dfrac{100x^2}{50}-6x+6$
$x\sqrt{x}$
$x+2x+3x+4x+5x$
$5x^4-\frac{4}{x^5}$
$\dfrac{x^2+1}{x}$
$2^x$
Tillämpningar och problemlösning (sid 123-126)
Ingen ny matematik här. Istället ska man läsa texter, översätta till matematik och tillämpa gamla kunskaper. Kom ihåg att det är fritt fram (och ofta nödvändigt) att använda GeoGebra på inrutade uppgifter. Så ta chansen att träna GeoGebra när ni gör uppgifterna.
3.1 Vad säger derivatan om funktionens graf?
Växande och avtagande (sid 140-142)
Vi börjar med att notera att boken gör en fin insats i att röra till begreppen växande och strängt växande (avtagande och strängt avtagande), så vi struntar i bokens framställning och gör en egen. Den är inte helt standard men tillräcklig för oss.
En viktig observation är att definitionerna av egenskaperna växande och avtagande inte innehåller något om derivata, och att egenskaperna gäller intervall och inte enstaka punkter. Man säger t.ex. att en funktion $f$ växer i ett intervall $a \leq x \leq b$ om $$ x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2) $$ Anm. I många analysböcker är det standard med $f(x_1) \leq f(x_2)$ men vi kör som ovan.
Sedan visar det sig (och är inte så svårt att ana) att derivatan har med växande och avtagande att göra. Det gäller att om $f'(x) > 0$ i ett intervall så är funktionen växande i intervallet (men observera alltså att detta inte är definitionen utan något som kan bevisas, dock i annan kurs). Analoga resonemang kan föras för avtagande.
Däremot är inte omvändningen sann. En funktion kan vara växande även om derivatan är noll i enstaka punkter. Betrakta nämligen funktionen $f(x)=x^3$. Den är växande i hela sin definitionsmängd (över allt) ty $x_2^3>x_1^3$ om $x_2 > x_1$. Däremot gäller att $f'(0) = 0$ så enstaka ''horisontella punkter'' (punkter med horisontell tangent) på grafen kan gå an, och man får ändå en växande funktion.
Extrempunkter och terrasspunkter (sid 143-146)
Här en det mest frågan om att lära sig ett antal (ganska enkla) definitioner. En lokal maximipunkt kan jämföras med toppen på Kebnekaise, befinner man sig där kan man i sin egen närhet inte observera något som är högre. Dock, om man hade sett väldigt långt hade man insett att toppen på Mount Everest är betydligt högre upp. Alltså motsvarar toppen på Kebnekaise en lokal maximipunkt. Toppen på Mount Everest är däremot dessutom en global maximipunkt, det finns nämligen ingen punkt som ligger högre upp. Analoga resonemang gäller för minimipunkter. Man noterar också att ändpunkter i funktions definitionsmängd i allmänhet blir lokala extrempunkter. Tänk efter varför! För en terrasspunkt gäller det att tangenten är horisontell i punkten men att det fortsätter uppåt eller neråt när man passerar genom punkten.
Viktigt, håll isär punkter och värden.
Man definierar extrempunkter/terrasspunkt utan att blanda in derivata. Derivata är ju ett ganska avancerat instrument så onödigt att dra till med det i definitionen. Däremot är derivatan, och dess nollställen och tecken, ett bra verktyg för att finna extrempunkter. Detta gör man i en teckenstudie.
Andraderivatan (sid 147-150)
Att räkna ut andraderivatan är rättframt, man deriverar ursprungsfunktionen två gånger. Observera beteckningen $$ y''(x)= \frac{d^2y}{dx^2} $$ Tvåan i täljaren ska alltså stå mellan $d$:et och $y$:et medan tvåan i nämnaren står efter $x$:et. Detta är i själva verket en logisk notation!
Vad som är mindre självklart är vad man ska ha andraderivatan till. Ett "användningsområde" är mekanik, där andraderivatan motsvarar acceleration, som t.ex. dyker upp i Newtons formel $F=ma$. Vi ska också använda andraderivatan för allmänna grafstudier. Lite slarvigt kan man säga att andraderivatan (eller i alla fall dess tecken) anger hur det "buktar". Om $y'' > 0$ buktar grafen nedåt ("hänger nedåt") medan den buktar uppåt om $y'' < 0$. Tänk efter varför det blir så! Ha i minnet att andraderivatan anger derivatans växande och avtagande.
Man kan använda andraderivata för att avgöra om ett nollställe till derivatan är lokalt max eller min (och alltså spara in på en teckenstudie) enligt följande: Om $y'' > 0$ är det fråga om lokalt min (lekskolepedagogik: positiv andraderivata ger glad graf) och om $y'' < 0$ är det fråga om max (lekskolepedagogik: negativ andraderivata ger ledsen graf). Observera att om $y''=0$ kan inget sägas, punkten i fråga kan vara max, min eller terrass. Man får använda t.ex. teckenstudie istället.
Funktionens graf och derivators grafer (sid 151-153)
Vi har sett att $f'$ och $f''$ kan användas för att uttala sig om utseendet på grafen till $f$. Detta kan man såklart också göra på grafisk form, dvs. man kollar på graferna till $f'$ och $f''$ och ser hur dessa hänger ihop med grafen till $f$. Det kräver lite eftertanke, och är lätt att röra till.
Den kanske vanligaste missen är att man ser fel på vilken graf det är som är ritad. Så kolla extra noga om ni utgår från $f$, $f'$ eller $f''$. Det är lätt att missa "fjuttarna".
Största och minsta värde (sid 156-158)
I många sammanhang är man intresserad av en funktions (globalt) största och minsta värde i ett intervall (som såklart kan vara hela $x$-axeln). Hur finner man då dessa värden, om de ens finns? Jo man letar på tre ställen;
- Derivatans nollställen
- Intervallens ändpunkter
- Punkter där derivatan inte existerar (ni kan tänka er att det handlar om hörn)
Man gör en sammanställning av funktionsvärdena i sådana punkter, och plockar sedan ut det största och det minsta funktionsvärdet. Utöver detta måste man tänka ut att största/minsta värde verkligen existerar. T.ex. övertygar man sig om att funktionsvärdena i så fall inte kan bli hur stora (positivt eller negativt) som helst. Tänk igenom hur det fungerar i förhållande till en graf.
3.2 Problemlösning med derivata
Extremvärdesproblem (sid 160-162)
Nu är det dags att tillämpa sin kunskaper om derivator och "grafstudier". Det som är nytt är att man ibland behöver översätta en svensk text till matematiska. Man skriver upp ett funktionsuttryck och tänker ut en definitionsmängd, sen är målet i allmänhet att bestämma största eller minsta värde, och till sist svara med en svenska mening (dvs göra en tolkning av sina resultat). Observera att man ibland själv behöver rita figur och införa beteckningar.
Tekniken är att derivera, bestämma derivatans nollställen osv (dvs samma grejs som innan).
Fler extremvärdesproblem (sid 164-167)
Samma innehåll som ovan, men möjligen lite mer omfattande problem.
Tillämpningar (sid 168-170)
Börjar bli lite tjatigt men i princip inte mycket nytt här heller. Eller jo, kanske något. Det dyker upp funktioner som har ''hål'' sin definitionsmängd. Då får man vara lite försiktigt när man studerar grafen med derivatametoder. T.ex. behöver man inkludera odefinierade $x$-värden i sin teckenstudie, och det kan inträffa att största och/eller minsta värde inte antas. Som alltid är det bra är tänka efter (hur ser grafen ut), sen räkna på med derivata och till sist kontrollera om man tänkt och räknat rätt i GeoGebra.
Tillämpningar och problemlösning (sid 171-174)
Inget nytt, men nya problem.
Deriverbarhet (sid 175-176)
Att en funktion är deriverbar i en punkt innebär i princip att det finns en entydig tangentlinje till grafen i punkter. Det innebär att grafen måste "hänga ihop" och dessutom inte ha några hörn. Hörn kan man fixa till t.ex. genom att sätta in ett absolutbelopp. Ett annat, kanske mer överraskande exempel är
Problem
Rita grafen till $$ f(x)=\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}} $$ i GeoGebra så ser du utseendet och hörnen. Kan du förklara varför dom dyker upp, och det överraskande utseendet av grafen mellan hörnen?
Som kuriosa kan noteras att Weierstrass lyckades konstruera en graf som "hänger ihop" men där derivatan saknas i varje punkt (man kan alltså säga att varje punkt är ett hörn). Försök rita den grafen, eller kolla
Weierstrassfunktionen
3.3 Från derivata till funktion
Primitiva funktioner (sid 177-179)
Situationen i detta avsnitt är att vi känner till en funktions derivata och söker själva funktionen. Varför detta är intressant kommer att framgå, men man kan redan nu tänka sig den fysikaliska situationen att man känner till hur fort något rör sig (en derivata) och vill veta hur lång sträcka detta något har färdats (ursprungsfunktionen). Man löser problemet genom att (helt enkelt) ''baklängesderivera'' $f(x)$, eller med korrektare språkbruk ta primitiv funktion till $f(x)$. Primitiva funktioner skrivs ofta med motsvarande stor bokstav, så $F(x)$ är alltså en primitiv funktion till $f(x)$ om $F'(x)=f(x)$.
Om man är slängd på derivering så kommer bestämmande av primitiv funktion vara relativt smärtfritt, låt oss ta ett exempel.
Exempel
Bestäm samtliga (observera, det finns många) primitiva funktioner till $$ f(x)=2x $$ Man inser efter lite eftertanke att en primitiv funktion (skrivs alltså med stor bokstav) är $$ F(x)=x^2 $$ Finns det fler? Ja, alla funktioner på formen $$ F(x)=x^2+C $$ där $C$ är en godtycklig konstant duger.
Man kan visa (överkurs) att det inte finns fler, så lösningstekniken blir att hitta en specifik primitiv funktion och sedan lägga till konstanten $C$ till denna.
Nu återstår bara att träna!
Primitiva funktioner med villkor (sid 180-181)
Ovan konstaterades att samtliga primitiva till $f(x)=2x$ ges av $F(x)=x^2+C$ där $C$ är en godtycklig konstant. Det är ju inte så konstigt, om man känner till en derivata (lutning) så är ju "formen" på ursprungsfunktionen given men inte dess position i $y$-led.
Om man däremot känner till ett specifikt funktionsvärde till den primitiva funktionen blir det ett entydigt svar.
Exempel
Vi bestämmer den primitiva funktion till $f(x)=2x$ som uppfyller att $F(1)=2$. Vi vet att $F(x)=x^2+C$ och villkoret ger att $1^2+C=2$ så $C=1$ och den specifika primitiva blir $F(x)=x^2+1$.
Taktiken är alltså att först bestämma samtliga primitiva och sedan använda givet villkor för att hitta den specifika.
Integral och area (sid 182-186)
Som boken visar så kan man bestämma hur långt man har färdats, $s(t)$, om man råkar känna till grafen till hastighetsfunktionern $v(t)$ genom att bestämma arean "under" grafen till $v(t)$. Att detta är korrekt inser man genom att studera hur långt man färdas i små tidsintervall och i dessa approximerar med en konstant hastighet (se sid 182).
Sedan skrotar man den fysikaliska tolkning och låter
$$
\int_{a}^{b} f(x) dx
$$
beteckna arean mellan funktionsgrafen $y=f(x)$ och $x$-axeln (det är inte sant om grafen ligger under $x$-axeln men vi avvaktar med detta). Själva uttrycket kallas en integral, och mer precist "integralen av $f$ från $a$ till $b$".
Varför ser beteckningen ut som den gör? Man kan tänka sig $\int$ som ett utdraget S vilket härrör från tanken att arean kan bestämmas som en summa av många smala rektangelareor. Uttrycket $f(x)dx$ kan sedan ses som en sådan rektangelarea med höjden $f(x)$ och basen $dx$ (en kort bit av $x$-axeln).
Integralberäkning med primitiv funktion (sid 188-191)
Newton med flera insåg att det fanns ett samband mellan derivator och integraler, och dom upptäckte "Integralkalkylens fundamentalsats". Denna säger att integraler (i många fall) kan beräknas med primitiv funktion.
Integralkalkylens fundamentalsats
Låt $F(x)$ vara en primitiv funktion till $f(x)$. Då gäller $$ \int_{a}^{b} f(x)dx=[F(x)]_{a}^{b}=F(b)-F(a) $$ under rimliga förutsättningar på funktionen $f$ (som alltid är uppfyllda i kursen).
Exempel
Beräkna $$ \int_{0}^{1} x^2 dx $$ Geometriskt kan integralen tolkas som arean mellan $x$-axeln och grafen till $f(x)=x^2$ i intervallet $0 \leq x \leq 1$, och som per definition ges av ett gränsvärde av en rektangelsumma.
Integralkalkylens fundamentalsats ger ett effektivare sätt att bestämma integralen, i princip behöver vi bara en primitiv till $x^2$ t.ex. $x^3/3$. Vi får sedan $$ \int_0^1 x^2 dx =\left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3} $$
Man kan alltså bestämma värdet på en integral genom att sätta in gränserna i den primitiva funktionen och subtrahera. Informellt kan man tänka sig $F(x)$ som en arearäknarfunktion. $F(b)-F(a)$ anger arean under grafen fram till $b$ minus arean fram till $a$, dvs arean mellan $a$ och $b$.
Mer om integraler (sid 194-197)
Just det, mer. Bland annat behandlas areor mellan kurvor och areor under $x$-axeln. Notera att integral (som definieras som gränsvärdet av en summa) kan vara negativ.
Tillämpningar och problemlösning (198-200)
Så är det dags att använda det vi lärt oss i mer tillämpade sammanhang. Som ni ser på sida 186 så kan man ha integralen till annat än att räkna area (även om man i princip alltid kan göra en areatolkning). Varje formel som är en produkt av två storheter där den ena varierar med den andra, kan sägas ge upphov till en integral.
I tillämpade sammanhang är det ofta bra att tänka i enheter. Kom då ihåg att integralen är en summa av "en massa" termer. Enheten på integralen blir alltså samma som termernas enhet, dvs enheten på det som står i integralen. Om t.ex. $v(t)$ anges i meter/sekund och tiden $t$, OCH DÄRMED OCKSÅ $dt$, i sekunder så har alltså integralen
$$
\int_a^b v(t) dt
$$
enheten meter!
4.1 Trigonometri i rätvinkliga trianglar
Repetition (sid 216-218)
Här handlar det om att rekapitulera kunskaper från Ma1c. Alltså definitionerna av $\sin$, $\cos$ och $\tan$ utifrån en rätvinklig triangel, och de inversa funktionerna.
Några exakta trigonometriska värden (sid 219)
Dessa värden finns på formelblad så inget att lära sig utantill, men bra att känna till/igen. Det är ingen "hjärnforskning" att ta fram värdena, se överst sida 219.
4.2 Trigonometri och enhetscirkeln
Enhetscirkeln (sid 220-223)
Hitintill har vi använt trigonometrin i rätvinkliga trianglar. Målet i Ma3c är att kunna använda trigonometrin i godtyckliga trianglar. Då uppstår strax "problemet" att det finns trubbvinkliga trianglar och vi vill gärna "ta" sin, cos och tan på sådana vinklar. Eftersom det inte går att rita rätvinkliga trianglar som också är trubbvinkliga behöver vi tänka lite annorlunda på $\sin$, $\cos$ och $\tan$. Detta nya tankesätt är via enhetscirkeln (i Ma4 visar det sig dessutom att vi vill ta $\sin$, $\cos$ på $\tan$ på "vinklar" som är större än $180^{\circ}$ eller negativa.
Här
http://www.geogebra.org/m/3187
https://www.geogebra.org/m/unKS3wCy
http://www.malinc.se/math/trigonometry/unitcirclesv.php
finns GeoGebraillustrationer där man kan "leka med" enhetscirkeln. Vissa är "renare" än den andra.
Trigonometriska ekvationer (sid 226-228)
Det finns, av naturliga skäl, två grundläggande varianter, $$ \sin v= \textrm{konstant}, \, \cos v= \textrm{konstant} $$ Som vanligt vid ekvationslösning gäller det att få $v$:et fritt, vilket sker med $\sin^{-1}$ eller $\cos^{-1}$. Sen gäller det att komma ihåg att man ofta får två lösningar i intervallet $0^{\circ} \leq v \leq 360^{\circ}$. Man kan inte anta att t.ex. $v$ är en vinkel i en triangel, utan ALLA möjliga v-värden måste presenteras. Man observerar också att vissa ekvationer saknar lösning, ett "krav" på $\sin$ och $\cos$ är ju att man får värden mellan $-1$ och $1$.
Det är helt avgörande att man förstår hur det fungerar i enhetscirkeln. Då blir ekvationslösningen logisk och ganska enkel, och man förstår varför det blir lite olika hantering beroende på vilken trigonometrisk funktion som är inblandad.
Följande GeoGebrakonstruktion illustrerar hur det funkar
https://www.geogebra.org/m/rcenjwjt
Om ni vill se på bra YouTubegenomgångar kan ni leta i Anders Karlssons spellista Matteskolan.
4.3 Trigonometri för godtyckliga trianglar
Areasatsen (sid 229-231)
Detta är en ganska "sketen" (enkel) sats, som fungerar i alla trianglar. Man utgår från areaformeln för en triangel $$ T=\frac{b \cdot h}{2} $$ (ja jag får kalla arean för T om jag vill, och det vill jag) och skriver om triangelns höjd (man kan välja vilken av de tre möjliga höjderna som helst) med sinus och får
Areasatsen
I en triangel, med boken beteckningar, gäller att $$ T=\frac{b \cdot c \cdot \sin A}{2} $$
Det är bättre att lära sig hur man tar fram areaformeln än att lära sig den utantill. Observera att areaformeln fungerar också om vinkeln $A$ är trubbig. Det beror på att $\sin(180-A)=\sin A$, vilket inses genom att kika i enhetscirkeln.
Sinussatsen (232-233)
Om man känner tre vinkel- eller längdmått i en triangel är den "oftast" entydigt bestämd och man kan med trigonometri bestämma övriga mått. Undantagen från denna regel är
1. Om man känner tre vinklar så är triangeln bestämd till form men inte storlek.
2. Om man känner två sidor och icke-mellanliggande vinkel kan det finnas två olika trianglar med dessa mått (men måste inte). Detta hanteras i boken på sid 221-225.
Sinussatsen
I en triangel, med bokens beteckningar, gäller att $$ \frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c} $$
Sinussatsen fungerar i alla trianglar och är användbar om man känner till en vinkel och dess motstående sida plus ytterligare ett mått. Beviset av satsen är en direkt följd av areasatsen. Man skriver upp arean på tre sätt och förlänger med 2/abc.
När ger sinussatsen två fall? (sid 234-237)
Som ni minns så har ekvationen
$$
\sin v = a
$$
"oftast" två lösningar i intervallet $0 < v < 180$ (vilka undantag finns?). Geometriskt och lite slarvigt formulerat svarar detta mot att vissa trianglar inte blir entydigt bestämda, en vinkel i triangeln kan vara $v$ eller $180-v$ t.ex.
I tabellen på sida 234 finns de olika möjligheterna uppradade med tillhörande villkor på sidor och vinklar. Detta är inget att lära sig utantill, det är bättre att vara vaksam när man löser uppgifterna och rekonstruera situationerna vid behov. Det kan vara bra att inledningsvis, t.ex. genom en skiss eller i GeoGebra, försöka skaffa sig en uppfattning om vilka och hur många trianglar som kan vara möjliga.
Cosinussatsen (sid 238-241)
Detta är den sista av de trigonometriska satserna (areasatsen, sinussatsen, cosinussatsen). Den är användbar t.ex. om man i en triangel känner två sidor och mellanliggande vinkel och vill ta reda på återstående sida och vinklar. Kom ihåg att en triangel är entydigt bestämd av just två sidor och mellanliggande vinkel så det uppstår inte samma problem som med trianglarna i förra avsnittet. Varför kan man förresten inte "fläska på" med sinussatsen om man känner två sidor och mellanliggande vinkel?
Cosinussatsen
I en triangel, med boken beteckningar, gäller att $$ c^2 = a^2+b^2-2ab \cdot \cos C $$
Observera att om vinkel $C$ är rät så blir $\cos C=0$ och cosinussatsen kokar ner till gamla hederliga Pythagoras sats ($c^2=a^2+b^2$). Ett slarvigt sätt att formulera detta är att cosinussatsen är en "tillfixad" variant av Pythagoras sats som fungerar i alla trianglar (trubbvinkliga såväl som spetsvinkliga).
Bokens bevis av cosinussatsen är inte det bästa. Kanske hinner jag visa det bästa på lektionen.
Tillämpningar och problemlösning (sid 242-245)
Ingen ny matte, men problem av varierande svårighetsgrad och "rolighet".