Matematik 2c, Na24s

Planering	Formelblad	Fredriks filmer
Material	Nationella prov, senaste	GeoGebra
Prov	Nationella prov, äldre	WolframAlpha
	Susannes NP-dokument	Mahifi, Joakims sida
	Ämnesplan	Matteskolan
		Allakandos AI-lärare

Kommentarer till kursen/kursboken

1.1 1.2 1.3 1.4 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 3.1 3.2 3.2 3.2 4.1 4.2

---

1.1 Repetition

Algebraiska uttryck (sid 10-11)

Enbart Ma1c så gäller "bara" att friska upp minnet.

Ekvationer (12-14)

Enbart Ma1c så gäller "bara" att friska upp minnet.

1.2 Linjära modeller

Repetition av räta linjens ekvation (sid 15-16)

Enbart Ma1c så gäller "bara" att friska upp minnet.

Mer repetition om räta linjer (17-19)

Enbart Ma1c så gäller "bara" att friska upp minnet.

Om du tröttnat på repetitionen kan du fundera på följande problem:

Problem: Tankeläsning?

Två personer, A och B, tänker på varsitt heltal mellan $1$ och $30$ (inklusive $1$ och $30$). De vet inte vilket tal den andra tänker på. A frågar B:
- Är ditt tal dubbelt så stort som mitt?
- Jag vet inte, svarar B. Är ditt tal dubbelt så stort som mitt?
- Jag vet inte. Är ditt tal hälften så stort som mitt? frågar A.
- Jag vet inte, säger B. Är ditt tal hälften så stort som mitt?
- Jag vet inte, svarar A.
- Nu vet jag vilket tal du tänker på! utbrister B.

Vilket är talet?

Linjär regression (20-23)

Äntligen(?) lite nytt. Med linjär regression anpassar man en rät linje efter en punktmängd. Punkter behöver inte ligga på en rät linje så regressionen ger någon sorts medellinje. Matematiken bakom detta är utanför kursens ramar, istället tar man hjälp av GeoGebra.

Här http://ortshistoria.se/stad/lund/befolkning finns befolkningsdata från Lund som man kan göra regression på.

1.3 Linjära ekvationssystem

Lösning av linjära ekvationssystem (sid 24-27)

Linjära ekvationssystem är vad det låter som, ett antal (två här) linjära ekvationer med ett antal obekanta variabler (som ofta ska bestämmas). Systemen kan lösas såväl grafiskt som algebraiskt, och i första avsnittet är det fråga om just grafisk lösning. Var och en av de linjära ekvationerna i systemet svarar grafisk mot en linje, som man ritar. Att sedan lösa ekvationssystemet betyder att man ska hitta $x$- och $y$-värden (ofta heter variablerna just $x$ och $y$ men det går så klart bra med andra) som uppfyller ekvationerna i systemet och grafiskt motsvarar detta punkter som ligger på båda linjerna, dvs. skärningspunkter. Man läser helt enkelt av denna/dessa.

Substitutionsmetoden (sid 28-30), Additionsmetoden (sid 31-33)

Detta är två olika metoder för att lösa ekvationssystem algebraiskt (och exakt). I princip räcker det att ni behärskar den ena. Om man stöter på större ekvationssystem är nog additionsmetoden att föredra men för mindre system är substitutionsmetoden lika bra och kanske begripligare. Lös någon uppgift med vardera sort, men välj sedan den metod ni tycker är bäst.

Kolla gärna in Anders Karlsson. Det han kallar elimination är det som boken kallar additionsmetod.

Matteskolan: Linjära ekvationssystem, substitution, exempel
Matteskolan: Linjära ekvationssystem, elimination, exempel

Ekvationssystem med tre obekanta (34-35)

Avsnittet är inte så upphetsande, man lägger till en ekvation och en obekant i ekvationssystemet. Lösningsmetoden är dock densamma. Man löser ut en "bokstav"/obekant i en rad, substituerar i de båda andra och vips har man ett system med två ekvationer och två obekanta. Detta löses som innan. Det alltså inte så svårt i princip men det blir ganska mycket räkningar så man får vara lite noggrann.

Det går utmärkt att göra geometriska tolkningar också av dessa större ekvationssystem, men det ligger utanför denna kursens ramar. I en framtida kurs i Linjär algebra kommer ni att se hur det hänger ihop.

Tillämpningar och problemlösning (36-39)

Tänk på att

• om ni själva inför beteckningar/variabler så måste dessa förklaras.
• även om ni i vissa fall kan göra en snabb och fiffig huvudräkningslösning, undvik det här eftersom poängen är att träna just organiserad och metodisk lösningsteknik. Och ibland blir fiffiga lösningar korrekta men svåra att begripa/följa.

Några speciella ekvationssystem (40-41)

Vad boken menar med ett speciellt ekvationssystem verkar oklart, men själva presentationen av de olika fall som kan inträffa (på sid 50) är bra. Tänk efter så att ni förstår "sambandet" mellan den algebraiska lösningen och den grafiska tolkningen.

1.4 Uttryck med parenteser

Repetition - multiplikation av parentesuttryck (sid 47-48)

Kända saker, nämligen multiplicera ihop parenteser och "fixa till" (förenkla).

Konjugatregeln och kvadreringsreglerna (sid 50-51)

Vissa speciella ''parentesmultiplikationer" kan man snabba upp med reglerna i rubriken. Det är inget konstigt och råkar man glömma är det bara att utföra "ihopmultiplikationen". Vi har t.ex. $$(a+b)(a-b)=a^2-ab+ba-b^2 = a^2-b^2$$

Sambandet $$(a+b)(a-b)= a^2-b^2$$ kallas konjugatregeln och är värt att lägga på minnet. Kvadreringsregeln (finns egentligen bara en!) säger att $$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$ Om $b$ väljs negativt får man bokens andra kvadreringsregel.

Att använda reglerna åt ena hållet är lätt. Lite svårare blir det om man vill rekonstruera parenteserna. T.ex är faktorisering av $$4x^2-12xy+9y^2$$ inte så lätt. Med lite eftertanke och vana inser man kanske att $$4x^2-12xy+9y^2 = (2x-3y)^2.$$ Att gå åt vänster i likheten ovan är ganska lätt, att gå åt höger är svårare. Mer om detta på nästnästa uppslag.

Mer om konjugat- och kvadreringsreglerna (52-53)

Inget nytt här i princip, bara mer komplicerade varianter av konjugat- och kvadreringsreglerna. Kanske inte kursens roligaste uppgifter, men bra träning. Ju säkrare ni är på algebra, desto bekvämare blir ert "matteliv" framöver.

GeoGebra (både i Algebrafönstret och CAS-fönstret) kan förenkla och lösa ekvationer. Testa gärna, det är bra hjälp på proven digitala delar (nästan "gratispoäng").

GeoGebra visar dock inte stegen. Här

https://www.symbolab.com/solver/algebra-calculator

finns en "räknare" som delvis visar steg (ibland måste man betala). Denna har ni inte heller tillgång till på prov. Men kan vara bra som hjälp när man kör fast.

MEN kom ihåg att ni måste kunna handräkna också, så räkna för hand först.

Faktorisera (54-55)

Att faktorisera innebär att skriva något som en produkt. T.ex. kan man faktorisera talet $6$; $6 = 2 \cdot 3$. I allmänhet är det ett mycket svårare problem att faktorisera än att multiplicera ihop. T.ex. är det lätt (men tråkigt) att utföra multiplikationen $37 \cdot 71$, men svårt att faktorisera $2419$.

Samma sak gäller nu för uttryck, att dom kan multipliceras ihop och faktoriseras (fast det är svårare/jobbigare än med tal). I vissa fall är faktoriseringen hyfsat enkel, t.ex. om man "kör" kvadrerings- och konjugatregeln baklänges. Men det är inte helt lätt att känna igen sig, så viss övning krävs. De specifika uppgifterna är inte särskilt intressanta, men träningen för ögat (se vad som ska göras) och handen (göra det) är bra.

2.1 Andragradsekvationer och rotekvationer

Enkla andragradsekvationer (sid 66-68)

Ni har sett liknande i Ma1c, i det avsnitt som hette "Enkla $x^2$-ekvationer" så en del bör kännas igen, men kanske behöver friskas upp. Kom ihåg att

• när man löser ekvationer vill man bara se $x$ på ett ställe. Förstör inte "ett sådant läge".
• om en produkt är noll måste minst en av faktorerna vara noll. Förstör inte en produkt som är lika med noll.
• ekvationen $x^2 = 4$ har lösningen $x=\pm \sqrt 4 = \pm 2$ och minns att alltså $\sqrt{4} = 2$ och INTE $-2$.

Kvadratkomplettering (sid 69-70)

Taktiken för att lösa allmänna andragradsekvationer är att utföra kvadratkomplettering, som i princip innebär att man ser till så det obekanta (ofta $x$) endast finns på ett ställe. När ni löser ekvationen $5x-3x=4$ är första steget att samla ihop $x$:en och få $2x=4$. I den sista ekvationen finns bara $x$ på ett ställe och det är dags att "städa" runt $x$:et.

Betrakta nu andragradsekvationen $$x^2+4x-5=0$$ Hur få $x$ på ett ställe enbart? Jo, vi "kör" kvadreringsregeln baklänges och fixar till så konstanten stämmer: $$x^2+4x-5 = (x+2)^2-4-5= (x+2)^2-9=0$$

Denna omskrivning kallas kvadratkomplettering (se bok sid 84 för en geometrisk tolkning och en Wikipediaartikel här). När $x$ bara finns på ett ställe "städar vi": $$(x+2)^2-9=0 \Leftrightarrow (x+2)^2=9 \Leftrightarrow x+2=\pm \sqrt{9} = \pm 3 \Leftrightarrow x=-2 \pm 3$$ Tydligen har ekvationen lösningarna $x=1$ och $x=-5$.

Vill du ser mer kvadratkompletteringar, kolla i Anders Karlsson. I det andra klippet visar han lite svårare exempel.

Matteskolan: Kvadratkomplettering av andragradsekvationer
Matteskolan: Andragradsekvationer med kvadratkomplettering

Även Norman Wildberger har ett par klipp om kvadratkomplettering. De ingår i hans serie Math Foundations. I denna finns mycket annat intressant så botanisera gärna.

Wildberger: Solving a quadratic equation, part a
Wildberger: Solving a quadratic equation, part b

En lösningsformel (sid 71-74)

Man orkar inte kvadratkomplettera varje gång (eller det gör man kanske?). Istället kan man säga att man gör det en gång för alla och presenterar slutresultatet som en färdig formel. Resultatet (lösningsformeln) dyker upp på sida 86 och här.

Den så kallade "pq-formeln"

$$x^2+px+q=0 \Leftrightarrow x=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left( \frac{p}{2} \right)^2 -q}$$

Den står också på formelbladet som man får ha med på alla prov. Alltså är det inte jätteviktigt att lära utantill. Däremot måste man känna igen problem där den kan användas och kunna utföra aktuella räkningar (bråkräkning, kvadratrötter etc.). Om man siktar mot de högre betygen bör man så småningom kunna utföra och förstå härledningen på sida 86.

Tillämpningar och problemlösning (sid 76-77)

Här gäller det att tolka eller översätta en text eller en figur till "matematiska". Det kommer oftast att leda till en andragradsekvation, som man löser med tekniker som man lärt sig tidigare. Till sist (som man alltid gör i textuppgifter) bedömer man rimligheten hos sitt svar, läser frågan i texten och skriver ett svar på frågan. Det är lätt hänt att man räknar rätt men glömmer att svara på den fråga som ställdes.

Problem (historiskt intressant, annars inte)

Redan de gamla babylonierna kunde lösa andragradsekvationer. På en kilskriftstavla, som numera finns vid Yale, från 1900 f.Kr. kan man finna följande problem (fritt översatt):

I en rektangel med area $60$ cm$^2$ är ena sidan $7$ cm längre än den andra. Bestäm rektangelns sidor.

Hur babylonierna löste problemet med sitt talsystem och utan vår algebra kan man läsa om här.

---

Vi gör ett försök med modern algebra. Låt den ena sidan vara $x$ cm och den andra vara $x+7$ cm. Formeln för arean av en rektangel ger $$x(x+7)=60$$ Vi skriver om och använder $pq$-formel $$x^2+7x=60$$ $$x^2+7x-60=0$$ $$x=-\frac{7}{2} \pm \sqrt{\left( \frac{7}{2} \right)^2 +60} = -\frac{7}{2} \pm \sqrt{\frac{49}{4} +\frac{240}{4}}=-\frac{7}{2} \pm \frac{17}{2}$$ Endast den positiva lösningen $$x=-\frac{7}{2} + \frac{17}{2} = 5$$ är relevant. Därmed är rektangelns sidor $5$ cm och $12$ cm.

Problem

Bestäm alla par av tal $a$ och $b$ som uppfyller att $$\frac{a-b}{a+b}=9 \textrm{ och } \frac{ab}{a+b}=-60$$ Observera att i en fullständig lösning har du inte bara funnit alla möjligheter, utan har också ett argument till varför det inte finns några fler.

Rotekvationer (sid 82-84)

Vid lösning av rotekvation behöver man nästan alltid "kvadrera" bort roten vid lämpligt tillfälle. Då måste man ha klart för sig att det samtidigt kan dyka upp falska lösningar (dock kan inga lösningar försvinna). För att se om man fått några falska lösningar kontrollerar man helt enkelt de lösningar man får genom insättning i den ursprungliga ekvationen. De lösningar som stämmer är korrekta, de andra förkastas.

2.2 Andragradsfunktioner

Repetition av funktioner (sid 86-89)

Detta är en alltså en repetition av Ma1c. Det gäller att friska upp begreppen definitionsmängd, värdemängd och funktion. Det väsentligaste är att ha koll på hur funktionssymbolen $f(x)$.

Problem

a) Hitta fyra funktioner $f(x)$ som uppfyller att $$f(f(x))=x$$ b) Hitta åtminstone en funktion som uppfyller att $$f(f(x))=x+1$$ Finns det mer än en?

Andragradsfunktionen graf (sid 90-98)

Lite intro via

Newtons kraftlagar
Ceres1; Ceres2
Kanoner1, Kanoner2, Kanoner3

Här handlar det om att begripa sig på grafen till andragradsfunktionen $y=f(x)=ax^2+bx+c$ och vad detta har att göra med t.ex. tidigare lösning av andragradsekvationer.

Här kan man leka med parametrarna https://www.geogebra.org/classic/gpjgszbp.

Vill man ha en extra "tavelgenomgång" rekommenderas nedanstående YouTubeklipp med Anders Karlsson.

Matteskolan: Andragradsfunktionens graf, inledning
Matteskolan: Andragradsfunktioner, kvadratkomplettering
Matteskolan: Andragradsfunktioner: symmetrilinje och max eller min
Matteskolan: Andragradsfunktionens graf, forts.

Från graf till formel (sid 99-101)

Som sagt (på någon lektion) är det bra att kunna växla mellan algebraiska uttryck och grafer. Båda "sidorna" har sina förtjänster. Här handlar det om att konstruera funktionsuttryck $y=f(x)=ax^2+bx+c$ från tre punkter (i allmänhet behövs det tre "informationer" eftersom det är tre konstanter som ska bestämmas, men det behöver inte nödvändigtvis vara just tre punkter).

Boken har tre metoder. Den första funkar bara om punkterna råkar vara nollställen, men är då smidigast. Den andra, med ekvationsystem funkar alltid men kan leda till lite jobbigare räkningar. Den tredje är funktionsnpassning i GeoGebra. Såklart allra smidigast, men har en uppenbar begränsning. Testa alla metoderna.

Tillämpningar och problemlösning (sid 103-106)

Ingen ny matte men blandade "textproblem". Observera den inledande instruktionen "Du bör kunna lösa uppgifterna både utan och med ekvationslösande verktyg". Så förslaget är att man först försöker lösa uppgiften utan och sedan med.

Problem

I koordinatsystemet visas en rät linje och grafen till andragradsfunktionen $y=ax^2+bx+c$, där $a$, $b$ och $c$ är olika reella tal. Vilken av följande ekvationer kan representera den räta linjen?

$y=bx+c$; $y=cx+b$; $y=ax+b$; $y=ax+c$; $y=cx+a$

2.3 Expontentialfunktioner och logaritmer

Repetition av exponentialfunktioner (sid 107-109)

Det mesta bör kännas igen från Ma1c, även om något problem kanske är lite svårare.

Exponentialfunktioner och logaritmer (sid 111-112)

Om man kan/förstår definitionen av logaritm så blir det mesta enkelt (mindre svårt) och logiskt.

Definition

Med $\lg x$ menas det tal som 10 ska upphöjas med för att man ska få $x$.

Man har de synonyma beteckningarna:

$$\lg x = \log x = ^{10}\log x = \log_{10} x$$

Att man ibland behöver skriva ut 10:an i logaritmen beror på att man kan ha logaritmer i olika baser. Mer om detta senare.

Vi har t.ex. $\lg 100 = 2$ ty $10^2 =100$ och $\lg 0,1=-1$ ty $10^{-1} = 0{,}1$. Man kan också tänka sig $\lg 20$ som är det tal som $10$ ska upphöjas med för att bli $20$. Att det finns ett sådant tal (mellan $1$ och $2$) känns tämligen klart, men det är inte så lätt att bestämma. Räknaren är "programmerad" för att räkna ut detta (hur är överkurs), så några knapptryckningar ger $\lg 20 \approx 1{,}30$ ty $10^{1{,}30} \approx 20$.

Matteskolan: Logaritmer, introduktion
Briggs logaritmtabeller

Mer om logaritmer (sid 113-115)

Finns inte mer att säga om detta, annat än att man fördjupar sin färdigheter om logaritmer.

Logaritmlagarna (sid 116-118)

Eftersom logaritmer har att gör med expontenter/potenser så kommer det att finnas en logaritmlag för varje potenslag. Följande gäller

Logaritmlagarna

• $\lg x+\lg y= \lg(x \cdot y)$

• $\lg x-\lg y= \lg \left( \frac{x}{y} \right)$

• $\lg x^p=p \cdot \lg x$

Matteskolan: Logaritmer, räkneregler del 2
Matteskolan: Logaritmer, tre enkla exempel

Problem

Båda problemen löses utan digitala hjälpmedel (annars nästan meningslösa).

a) Lös ekvationen $$2 + \lg\sqrt{1+x}+3\lg \sqrt{1-x}=\lg \sqrt{1-x^2}$$

b) Mitt emellan $\lg 126$ och $\lg 350$ ligger $\lg a$, där $a$ är ett heltal. Bestäm $a$.

2.4 Exponentialekvationer och potensekvationer

Likheter och skillnader (sid 119-121)

Man kan tycka att ekvationerna $x^7=5$ (en potensekvation) och $7^x=5$ (en exponentialekvation) har vissa likheter. Och visst, rent "utseendemässigt" är det ju så, men ''matematisk'' är det olika ekvationer med olika lösningsmetoder.