| Planering | Formelblad | Fredriks filmer |
| Material/prov | Nationella prov, senaste | GeoGebra |
| Nationella prov, äldre | WolframAlpha | |
| Susannes NP-dokument | Mahifi, Joakims sida | |
| Ämnesplan | Matteskolan |
Kommentarer till kursen/kursboken
1.1 1.2 1.3 1.4 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 3.1 3.2 4.1 4.2 4.3 4.3
1.1 Repetition
Hela detta avnitt är alltså en repetition av Ma1b. Därmed inget nytt, men en del har nog fallit bort under sommarlovet. Så träna efter behov. Ju säkrare detta sitter desto "bekvämare" blir det när det nya stoffet kommer. På några avsnitt finns det ett extraproblem som du också kan grunna på och som vi kanske följer upp gemensamt på någon lektion.
Negativa tal och prioriteringsregler (sid 10-12)
Problem
Som bekant är $2 \cdot 3 = 6$. Detta kan man t.ex. inse genom att tolka vänsterledet som att man ska lägga ihop två stycken $3$:or, eller tolka som area (antal rutor) i en lämplig rektangel. Kan du ge någon förklaring till multiplikationerna med negativa tal?
• $2 \cdot (-3) = -6$
• $(-2) \cdot 3 = -6$
• $(-2) \cdot (-3)= 6$
Beräkningar med tal i bråkform (sid 13-15)
Problem
Egyptierna arbetade i princip enbart med så kallade stambråk, som är ett bråk med täljaren $1$. Ett stambråk har alltså formen $\frac{1}{n}$. Som en konsekvens av detta var dom tvungna att uttrycka andra bråk som summor av stambråk.
T.ex. har man åtminstone två möjligheter för bråket $\frac{2}{3}$; $$\frac{2}{3}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}$$
varav den första är självklar (tråkig).Skriv $\frac{3}{4}$ som en summa av stambråk på så många sätt som möjligt. Tre olika sätt är nog rimliga att komma på om man tänker efter ett tag.
Algebraiska uttryck (sid 16-19)
Problem
Om man ser $...$ i ett matematiskt uttryck/sammanhang så betyder det att man ska fortsätta enligt samma mönster. Man måste skriva upp så pass mycket av uttrycket så att mönstret framgår.
Förenkla uttrycket $$(x-a)(x-b)(x-c) \ldots (x-å)(x-ä)(x-ö)$$
Ekvationer (sid 20-23)
Att algebraisera en frågeställning, dvs. införa variabler och teckna ekvation som motsvarar textens information, är ofta effektivt. När väl algebraiseringen är gjord kör man på med sina standardräkningar. Ibland kan man emellertid lösa problemet med enkel huvudräkning. Nedanstående problem kommer från en högstadiebok från 1957. Försök lösa problemet med både ekvation och enkel huvudräkning.
Problem
Ett arbete kan utföras av 5 man på 20 dagar. Hur lång tid tar hela arbetet, om först 8 man arbetar i 6 dagar och därefter 13 man?
Ekvationer med digitala verktyg (sid 24-25)
Vad gäller digitala verktyg så fungera både GeoGebra och Desmos bra. Dock verkar inte Desmos stödja algebraiska lösningar, så metoden blir att rita grafer och spana in skärningspunkter (helt ok). En "algebraisk" lösare som visar stegen är Symbolab. Inget man har tillgång till på prov, men bra om man kör fast på kammaren. Så testa gärna.
Räknaren använder ni bara vid beräkningar med stora/jobbiga tal, inte vid ekvationlösning.1.2 Linjära modeller
Repetition av formel, tabell, graf (sid 26-27)
Friska upp saker från Ma1b. Det handlar om olika sätt att beskriva en funktion (typ hur en variabel beror på en annan). Man kan göra detta i ord, med graf, i tabell eller med formel. Graferna lever i koordinatsystem som man erinrar sig.
Repetition av räta linjens ekvation (sid 28-31)
Fortsätt friska upp saker från Ma1b. En rät linje (som inte är lodrät) kan skrivas på formen $$y=kx+m$$ där $k$ anger lutning (i $y$-steg per $x$-steg) och $m$ var grafen skär $y$-axeln (typ ett startvärde). Träna på att växla mellan formel och graf.
Mer om räta linjer (sid 32-34)
Här anser boken att Ma2b startar, så nu börjar alltså det roliga!
Att två linjer är parallella precis om de har samma lutning och dämed samma $k$-värde är närmast självklart. Sambandet mellan lutningarna hos två vinkelräta linjer kräver lite eftertanke. Man kan inse det t.ex. genom att rotera en lämplig triangel 90 grader och hålla koll på vad som händer med sidlängderna. "Extraläraren" Anders har några instruktiva YouTube-klipp
Matteskolan: Vinkelräta linjer, "k-form", ex 1
Matteskolan: Vinkelräta linjer, "k-form", ex 2
Matteskolan: Parallella linjer på allmän form, härledning och exempel
Man kan ju tycka att det kan räcka med att presentera linjers ekvation på s.k. $k$-form:
$$
y=kx+m
$$
Särskilt lämplig är denna form då man ska rita grafen i ett koordinatsystem. I andra sammanhang kan det dock vara bättre med den så kallade allmänna formen:
$$
ax+by+c=0
$$
Ett skäl är att man också kan uttrycka vertikala/lodräta linjer på denna form (tag $b=0$). Ett annat, som ni snart kommer att se, är hur linjer ofta skrivs i ekvationssystem.
Matteskolan: Räta linjens ekv. allmän form
Problem
Rogerina har satt ut hörnen på en tomt (i ett koordinatsystem) i punkterna $(1,1)$, $(5,3)$, $(1,11)$ och $(-3,8)$. Meningen är tomten ska vara en rektangel men det visar sig att Rogerina har gjort fel. Hjälp Rogerina att ta reda på vilket hörn som är felsatt och var detta istället skulle vara placerat. Använd en så generell metod som möjligt som också skulle kunna hantera koordinater såsom $(15672{,}314;4353{,}143)$, dvs en metod där man kan räkna inte bara titta.
Linjär regression (sid 35-38)
Med linjär regression anpassar man en rät linje efter en punktmängd. Punkter behöver inte ligga på en rät linje så regressionen ger någon sorts medellinje. Matematiken bakom detta är utanför kursens ramar, istället tar man hjälp av Desmos. Här finns Desmos Manual där man kan läsa om regression på sida 9.
Korrelation och korrelationskoefficient (sid 40-42)
Detta har ni delvis sett i Ma1b. Korrelation betyder att två varibler "samvarierar". Man kan tänka sig positiv korrelation (båda ökar samtidigt), ingen korrelation (värdena har inga relationer), negativ korrelation (när den ena ökar minskar den andra). Graden av korrelation kan vara olika stark och detta kan anges genom att man beräknar det så kallade $r$-värdet. $r=1$ betyder mycket stark positiv korrelation, $r=0$ ingen korrelation och $r=-1$ mycket stark negativ korrelation.
Hur man räknar ut $r$-värdet och hur det exakt definieras är utanför kursens ramar. Däremot behöver man kunna beräkna det med Desmos och tolka det. Värdet dyker upp när ni gör en regression.
1.3 Linjära ekvationssystem
Lösning av ekvationssystem (sid 43-46)
Linjära ekvationssystem är vad det låter som, ett antal (två här) linjära ekvationer med ett antal (två här) obekanta variabler (som ofta ska bestämmas). Systemen kan lösas såväl grafiskt som algebraiskt, och i första avsnittet är det fråga om just grafisk lösning. Var och en av de linjära ekvationerna i systemet svarar grafisk mot en linje, som man ritar. Att sedan lösa ekvationssystemet betyder att man ska hitta $x$- och $y$-värden (ofta heter variablerna just $x$ och $y$ men det går så klart bra med andra) som uppfyller ekvationerna i systemet. Grafiskt motsvarar detta punkter som ligger på båda linjerna, dvs. skärningspunkter. Man läser helt enkelt av denna (dessa i vissa fall).
Substitutionsmetod (sid 47-49), Additionsmetod (sid 50-52)
Detta är två olika metoder för att lösa ekvationssystem algebraiskt (och exakt). I princip räcker det att ni behärskar den ena. Om man stöter på större ekvationssystem är nog additionsmetoden att föredra men för mindre system är substitutionsmetoden lika bra och kanske begripligare. Lös någon uppgift med vardera sort, men välj sedan den metod ni tycker är bäst.
Kolla gärna in Anders Karlsson. Det han kallar elimination är det som boken kallar additionsmetod.
Matteskolan: Linjära ekvationssystem, substitution, exempel
Matteskolan: Linjära ekvationssystem, elimination, exempel
Tillämpningar och problemlösning (sid 53-56)
Kom ihåg
• om ni själva inför beteckningar/variabler så måste dessa förklaras.
• även om ni i vissa fall kan göra en snabb och fiffig huvudräkningslösning, undvik det här eftersom poängen är att träna just organiserad och metodisk lösningsteknik. Och ibland blir fiffiga lösningar korrekta men svåra att begripa/följa.
Några speciella ekvationssystem (sid 57-58)
Vad boken menar med ett speciellt ekvationssystem verkar oklart, men själva presentationen av de olika fall som kan inträffa (på sid 57) är bra. Tänk efter så att ni förstår "sambandet" mellan den algebraiska lösningen och den grafiska tolkningen.
1.4 Uttryck med parenteser
Repetition - multiplikation av uttryck (sid 68-70)
Kända saker, nämligen multiplicera ihop parenteser och "fixa till" (förenkla).
Konjugatregeln och kvadreringsregeln (sid 72-73)
Vissa speciella ''parentesmultiplikationer" kan man snabba upp med reglerna i rubriken. Det är inget konstigt och råkar man glömma är det bara att utföra "ihopmultiplikationen". Vi har t.ex. $$(a+b)(a-b)=a^2-ab+ba-b^2 = a^2-b^2$$ Om man hoppar över mittledet får man
Konjugatregeln
$$(a+b)(a-b)= a^2-b^2$$som är värd att lägga på minnet. Kvadreringsregeln (finns egentligen bara en!) säger att
Kvadreringsregeln
$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 $$vilket inses med hopmultiplikation. Om $b$ väljs negativt får man bokens andra kvadreringsregel.
Att använda reglerna åt ena hållet är lätt. Lite svårare blir det om man vill rekonstruera parenteserna. T.ex är faktorisering av $$4x^2-12xy+9y^2$$ inte så lätt. Med lite eftertanke och vana inser man kanske att $$4x^2-12xy+9y^2 = (2x-3y)^2$$ Att gå åt vänster i likheten ovan är ganska lätt, att gå åt höger är svårare. Mer om detta på nästa uppslag.
Mer om konjugat- och kvadreringsreglerna (sid 74-75)
Inget nytt här i princip, bara mer komplicerade varianter av konjugat- och kvadreringsreglerna. Kanske inte kursens roligaste uppgifter, men bra träning. Ju säkrare ni är på algebra, desto bekvämare blir ert "matteliv" framöver.
Här finns en "räknare" som delvis visar steg (ibland måste man kanske betala). Denna har ni inte tillgång till på prov. Men kan vara bra som hjälp när man kör fast. MEN kom ihåg att ni måste kunna handräkna också, så räkna för hand först.
Faktorisera (sid 76-77)
Att faktorisera innebär att skriva något som en produkt. T.ex. kan man faktorisera talet $6$; $6 = 2 \cdot 3$. I allmänhet är det ett mycket svårare problem att faktorisera än att multiplicera ihop. T.ex. är det lätt (men tråkigt) att utföra multiplikationen $37 \cdot 71$, men svårt att faktorisera $2419$.
Samma sak gäller nu för uttryck, att dom kan multipliceras ihop och faktoriseras (fast det är svårare/jobbigare än med tal). I vissa fall är faktoriseringen hyfsat enkel, t.ex. om man "kör" kvadrerings- och konjugatregeln baklänges. Men det är inte helt lätt att känna igen sig, så viss övning krävs. De specifika uppgifterna är inte särskilt intressanta, men träningen för ögat (se vad som ska göras) och handen (göra det) är bra.
2.1 Andragradsekvationer
Enkla andragradsekvationen (sid 88-91)
Ni har sett liknande i Ma1b, i det avsnitt som hette "Enkla $x^2$-ekvationer" så en del bör kännas igen, men kanske behöver friskas upp. Kom ihåg att
• när man löser ekvationer vill man bara se $x$ på ett ställe. Förstör inte "ett sådant läge".
• om en produkt är noll måste minst en av faktorerna vara noll. Förstör inte en produkt som är lika med noll.
• ekvationen $x^2 = 4$ har lösningen $x=\pm \sqrt 4 = \pm 2$ och minns att alltså $\sqrt{4} = 2$ och INTE $-2$. Så $\pm$ måste anges.
En lösningsformel (sid 92-94)
Här följer nu en längre utläggning om kvadratkomplettering. Det är intressant men kan överhoppas om man inte vill färdjupa sig utan mest "överleva". Då kan man hoppa ner till rutan och köra med formeln direkt.
Metoden (känd redan av babylonierna) för att lösa allmänna andragradsekvationer, $x^2+px+q=0$, är att utföra kvadratkomplettering, som i princip innebär att man ser till så det obekanta (ofta $x$) endast finns på ett ställe. När man löser ekvationen $5x-3x=4$ är första steget att samla ihop $x$:en och få $2x=4$. I den sista ekvationen finns bara $x$ på ett ställe och det är dags att "städa" runt $x$:et.
Betrakta nu andragradsekvationen $$x^2+4x-5=0$$ Hur få $x$ på ett ställe enbart? Jo, vi "kör" kvadreringsregeln baklänges och fixar till så konstanten stämmer: $$x^2+4x-5 = (x+2)^2-4-5= (x+2)^2-9=0$$ Denna omskrivning kallas kvadratkomplettering (se här för bland annat en geometrisk illustration). När $x$ bara finns på ett ställe "städar vi": $$(x+2)^2-9=0 \Leftrightarrow (x+2)^2=9 \Leftrightarrow x+2=\pm \sqrt{9} = \pm 3 \Leftrightarrow x=-2 \pm 3$$ Tydligen har ekvationen lösningarna $x=1$ och $x=-5$.
Vill du ser mer kvadratkompletteringar, kolla i Anders Karlsson. I det andra klippet visar han lite svårare exempel.
Matteskolan: Kvadratkomplettering av andragradsekvationer
Matteskolan: Andragradsekvationer med kvadratkomplettering
Även Norman Wildberger har ett par klipp om kvadratkomplettering. De ingår i hans serie Math Foundations. I denna finns mycket annat intressant så botanisera gärna.
Wildberger: Solving a quadratic equation, part a
Wildberger: Solving a quadratic equation, part b
Kvadratkompletteringen leder fram till en färdig lösningformel, som står på sida 93 och här
Den så kallade "pq-formeln"
$$x^2+px+q=0 \Leftrightarrow x=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left( \frac{p}{2} \right)^2 -q}$$Formeln står också på formelbladet som man får ha med på alla prov. Alltså är det inte jätteviktigt att lära utantill. Däremot måste man känna igen problem där den kan användas och kunna utföra aktuella räkningar (bråkräkning, kvadratrötter etc.). Om man siktar mot de högre betygen bör man så småningom kunna utföra och förstå (delar av) härledningen på sida 93.
Mer om andragradsekvationer (sid 95-97)
Observera att lösningsformeln bara funkar om ekvationen är på rätt form, ''allt'' på en sida och en osynlig 1:a framför $x^2$-termen. Om det inte är så måste man först fixa till.
pq-formeln biter på alla andragradsekvationer. Men om ekvationen är ''gles'', dvs $x$-term eller konstantterm saknas, är det smidigare att använda kvadratrotsmetod eller nollproduktmetod.
Diskriminanten är ett tal som tillhör ekvationen och som ''diskriminerar''/skiljer på olika lösningsmängder.
Tillämpningar och problemlösning (sid 100-101)
Här gäller det att tolka eller översätta en text eller en figur till "matematiska". Det kommer oftast att leda till en andragradsekvation, som man löser med tekniker som man lärt sig tidigare. Till sist (som man alltid gör i textuppgifter) bedömer man rimligheten hos sitt svar, läser frågan i texten och skriver ett svar på frågan. Det är lätt hänt att man räknar rätt men glömmer att svara på den fråga som ställdes.
Problem
Redan de gamla babylonierna kunde lösa andragradsekvationer. På en kilskriftstavla, som numera finns vid Yale, från 1900 f.Kr. kan man finna följande problem (fritt översatt):
I en rektangel med area $60$ cm$^2$ är ena sidan $7$ cm längre än den andra. Bestäm rektangelns sidor.
Hur babylonierna löste problemet med sitt talsystem och utan vår algebra kan man läsa om här.
Vi gör ett försök med modern algebra. Låt den ena sidan vara $x$ cm och den andra vara $x+7$ cm. Formeln för arean av en rektangel ger $$x(x+7)=60$$ Vi skriver om och använder $pq$-formel $$x^2+7x=60$$ $$x^2+7x-60=0$$ $$x=-\frac{7}{2} \pm \sqrt{\left( \frac{7}{2} \right)^2 +60} = -\frac{7}{2} \pm \sqrt{\frac{49}{4} +\frac{240}{4}}=-\frac{7}{2} \pm \frac{17}{2}$$ Endast den positiva lösningen $$x=-\frac{7}{2} + \frac{17}{2} = 5$$ är relevant. Därmed är rektangelns sidor $5$ cm och $12$ cm.
2.2 Andragradsfunktioner
Repetition av skrivsättet $f(x)$ (sid 103-106)
Detta är en alltså en repetition av Ma1c. Det gäller att friska upp begreppen definitionsmängd, värdemängd och funktion. Det väsentligaste är att ha koll på hur funktionssymbolen $f(x)$.
Andragradsfunktionens graf (sid 108-112)
Lite intro via
Newtons kraftlagar
Ceres i solsystemet
Ceres och Gauss
Kanonbana 1
Kanonbana 2
Kanonbana 3
Här handlar det om att begripa sig på grafen till andragradsfunktionen $y=f(x)=ax^2+bx+c$ och vad detta har att göra med t.ex. tidigare lösning av andragradsekvationer.
Här kan man leka med parametrarna https://www.geogebra.org/classic/gpjgszbp
Vill man ha en extra "tavelgenomgång" rekommenderas nedanstående YouTubeklipp med Anders Karlsson.
Matteskolan: Andragradsfunktionens graf, inledning
Matteskolan: Andragradsfunktioner, kvadratkomplettering
Matteskolan: Andragradsfunktioner: symmetrilinje och max eller min
Matteskolan: Andragradsfunktionens graf, forts.
Andragradsfunktionens största och minsta värde (sid 113-117)
Matematiken i detta avsnitt täcks in av Matteskolans filmer ovan. Begreppen på sida 113 lär man sig utantill.
Problemlösning (sid 119-122)
Ingen ny matte men blandade "textproblem". Observera att alla uppgifter ska lösas med digitalt hjälpmedel. Men det hindrar ju inte att man kan tänka efter lite vad man kan förvänta sig innan man drar igång GeoGebra.
2.3 Repetition av potensekvationer och exponentialekvationer
Potenser och potensekvationer (sid 123-125)
Det mesta bör kännas igen från Ma1c, även om något problem kanske är lite svårare.
Exponentialfunktioner (sid 126-129)
Det mesta bör kännas igen från Ma1c, även om något problem kanske är lite svårare.
2.4 Logaritmer
Exponentialekvationer och logaritmer (sid 131-132)
Om man kan/förstår definitionen av logaritm så blir det mesta enkelt (mindre svårt) och logiskt.
Definition
Med $\lg x$ menas det tal som 10 ska upphöjas med för att man ska få $x$.
Man har de synonyma beteckningarna: $\lg x = \log x = ^{10}\log x = \log_{10} x$.
Att man ibland behöver skriva ut 10:an i logaritmen beror på att man kan ha logaritmer i olika baser. Mer om detta om ni läser mer matte.
Vi har t.ex. $\lg 100 = 2$ ty $10^2 =100$ och $\lg 0{,}1=-1$ ty $10^{-1} = 0{,}1$. Man kan också tänka sig $\lg 20$ som är det tal som $10$ ska upphöjas med för att bli $20$. Att det finns ett sådant tal (mellan 1 och 2) känns tämligen klart, men det är inte så lätt att bestämma. Räknaren är "programmerad" för att räkna ut detta (hur är överkurs), så några knapptryckningar ger $\lg 20 \approx 1{,}30$ ty $10^{1{,}30} \approx 20$.
Se även detta,
Matteskolan: Logaritmer, introduktion
En logaritmtabell
Logaritmtabellen är intressant för det var "så det började" och dylika tabeller användes för att snabba upp räkningar innan datoråldern. Mer om detta på lektionen.
Mer om logaritmer (sid 133-135)
Just det, mer träning men ingen ny matte. Jag passar på att formulera att "10 upphöjt till" och $\lg$ är varandras inversa funktioner (''motsatsfunktioner''). Det betyder att den ena ogör den andra eller med andra ord
Sats
• $10^{\lg x}=x$
• $\lg 10^x=x$
för alla $x$ där uttrycken har mening.Det är tveksamt om man får kalla ovanstående en sats, i princip är det bara en omskrivning av definitionen. Sambanden är bra att ha vid ekvationslösning så man slipper tänka på definitionen varje gång.
Exponential- och potensekvationer (sid 136-139)
Det finns tre räkneregler/lagar som gäller för logaritmerna. Dom motsvarar potenslagarna. Boken presenterar enbart den sista, men jag tar med alla. Vi har ju redan sett exempel på den första i användandet av logaritmtabellen.
Logaritmlagarna
• $\lg x+\lg y= \lg(x \cdot y)$
• $\lg x-\lg y= \lg \left( \frac{x}{y} \right)$
• $\lg x^p=p \cdot \lg x$
Med hjälp av den tredje logaritmlagen kan man lösa exponentialekvationer. Vi illustrerar med ett exempel.
Exempel på exponentialekvation
Lös ekvationen $7^x=5$.
Ta $\lg$ på båda sidorna $$\lg 7^x=\lg 5$$ Använd logaritmlagen på vänsterledet och "släng fram" $x$:et $$x \cdot \lg 7 = \lg 5$$ Dividera båda sidorna med $\lg 7$ (visst, $\lg 7$ är ett sunkigt tal men det är bara ett tal så vi gör som vanligt) $$x=\frac{\lg 5}{\lg 7}$$ Slå på räknaren $$\frac{\lg 5}{\lg 7} \approx 0{,}827$$
Potensfunktioner löstes redan i Ma1b och här behövs inga logaritmer (om man logaritmerar dessa ekvationer blir det bara värre). Ett exempel
Exempel på potensekvation
Lös ekvationen $x^7=5$.
Upphöj båda sidor med $1/7$ $$(x^7)^{1/7}=5^{1/7}$$ Förenkla vänsterledet till $x$ (med potenslag) och slå på räknaren $$x = 5^{1/7} \approx 1{,}258$$
Man kan tycka att ekvationerna $7^x=5$ (en exponentialekvation) och $x^7=5$ (en potensekvation) har vissa likheter. Och visst, rent "utseendemässigt" är det ju så, men ''matematisk'' är det olika ekvationer med olika lösningsmetoder.
Tillämpningar och problemlösning (sid 141-145)
Ingen ny matte här. Istället diverse "texproblem" om sådan matte som man redan kan (i bästa fall).
2.5 Regressionsanalys
Regressionsanalys med olika modeller (sid 148-151)
Detta har vi delvis gjort tidigare. Det handlar om att, med Desmos, anpassa funktionsgrafer efter punkter på bästa sätt. Än så länge har vi tre möjligheter; linjär, exponentiell och kvadratisk regression. Se till så ni behärskar detta i Desmos (hur Desmos gör är ett svårare problem utanför kursens ramar).
Från graf till formel (sid 152-154)
Ungefär samma sak som ovan, fast man får börja med att plocka ut punkter från en graf.
3.1 Lägesmått och spridningsmått
Medelvärde, median och typvärde (sid 168-171)
Ganska enkelt avsnitt. Man repeterar begreppen medelvärde, median och typvärde och försöker få lite känsla för dessa.
Kvartiler och percentiler (sid 172-176)
I förra avsnittet såg vi exempel på några lägesmått. Här kikar vi istället på några spridningsmått, som anger hur utspridd datan är. Medianen är alltså ''mitten'' när datan ordnats i storlek. Tar man sedan medianen på de båda halvorna får man de ställen där datan delas i fjärdedelar. De tal där detta sker är kvartilerna. Det finns tre kvartiler, den nedre, den övre och den mittersta (som är medianen).
Percentilen $P_n$ är det tal/värde som delar datan så att $n \%$ av datan ligger under $P_n$ och $(100-n) \%$ ligger över. T.ex. är nedre/första kvartilen $Q_1$ samma som $25$-percentilen $P_{25}$.
Boken nämner också variationsbredd och kvartilavstånd. Det får man läsa om själv.
Lådagram (sid 178-183)
Om man känner för att illustrera kvartiler och median med en figur gör man ett lådagram. De mittersta 50%-en illustreras med en rektangel, därav begreppet lådagram. Enligt läraren är lådagram det "jönsigaste" i hela gymnasiekursen (i alla fall att göra dom), men ni får ju lära er det ändå. En metod för att "komma undan" lite är att låta GeoGebra (eller annat digitalt hjälpmedel) göra lådagrammen. Mer om detta på lektionen.
Standardavvikelse (sid 184-186)
Utöver medelvärde, median och typvärde är man intresserad av hur utspritt det statistiska materialet är. Kvartiler och kvartilavstånd är några enkla mått på detta, man får ju koll på var fjärdedelarna av materialet är. Ett bättre, och mer använt, mått är standardavvikelsen. Denna räknas ut som följer;
• bestäm materialets (stickprovets) medelvärde
• beräkna "avståndet" från var och en av mätdatan till medelvärdet och kvadrera dessa "avstånd"
• addera alla dessa "kvadrater"
• dela med antalet mätdata minus ett, $n-1$ (talet som fås här kallas varians)
• ta roten ur denna kvot
Formel finns i formelblad eller bok. Observera att man ska dela med $n-1$ och inte $n$ (för stora stickprov kvittar det i princip). Skälet till detta är inte helt enkelt att förstå och man ska strunta i det för nu. Boken ger heller ingen bra förklaring. Vill man ändå veta mer om detta kan man kika här.
3.2 Normalfördelning
Normalfördelat material (sid 188-191)
Om man gör ett stort antal observationer av oberoende slumpmässiga försök kommer "summan" av dessa att bli normalfördelad. Detta är därmed den kanske viktigaste fördelningsfunktionen. Vill man varför det blir som det blir hamnar man långt utanför kursens ramar. Om man ändå är intresserad kan man kolla på teorin här, Centrala gränsvärdessatsen, och på denna Applet för exempel.
Ni behöver känna till kurvans form och att den bestäms helt av medelvärdet och standardavvikelsen. För att få fram sannolikheter i fördelningen kollar man på formelblad eller i GeoGebra. Det sistnämnda är alltid är föredra när det är tillåtet, men inte än.
Normalfördelat material med digitala verktyg (sid 192-194)
Här är det dags att blåsa på med GeoGebra
4.1 Logik och bevis
Geometriska begrepp och definitioner (sid 208-211)
Detta avsnitt består mest av en radda begrepp (typ "glosor") som man kanske kan memorera. Bättre/roligare är kanske att köra igång med uppgifterna och bläddra tillbaka efterhand. Till sist kan begreppen/definitionerna fastna av sig själva.
Sats och bevis (sid 212-215)
Eftersom matematik är en rent logisk konstruktion där man sätter upp att antal grundaxiom och sedan härleder resultat, så är "sats" och "bevis" centrala begrepp. Lite slarvigt kan man säga att "sats" är ett härlett resultat och "bevis" är själva härledningen/argumentet.
När ni löser uppgifter av typen "Visa att ... " eller "Bevisa att ..." är det särskilt viktigt att ni redovisar era tankegångar logiskt och välskrivet. Själva resultatet är ju redan påstått. Framställningen ska vara sådan att en klasskamrat utan större ansträngning ska kunna följa den. Kom också ihåg att tydligt ange tidigare resultat som ni använder. T.ex. "Enligt Pythargoras sats gäller att...". Själva Pythagoras sats behöver sedan inte bevisas eller argumenteras ytterligare för.
Implikation och ekvivalens (sid 216-217)
Här introduceras lite logisk notation som kan vara användbar vid resonemang och bevisföring. Påståendet ''om $x>2$ så är $x>1$'' eller ''att $x>2$ medför att $x>1$'' kan skrivas kortare $$ x>2 \Rightarrow x>1 $$ där $\Rightarrow$ kallas för en implikation. Det innebär att om vänsterledet är sant så måste också högerledet vara sant. Dock behöver det inte ''gå åt andra hållet'', i detta fallet gör det inte det.
Påståendet ''att $2x=2$ är ekvivalent med att $x=1$'' kan skrivas kortare $$ 2x=2 \Leftrightarrow x=1 $$ där $\Leftrightarrow$ kallas för en ekvivalens (eller snarare en ekvivalenssymbol). Det innebär att båda sidorna är sanna (eller falska) samtidigt. Man kan också tänka på det som två implikationer åt olika håll. När ni löser ekvationer påstår har ni egentligen en radda med ekvivalenta påståenden, även om man inte orkar skriva ut alla dubbelpilarna.
4.2 Några klassiska satser i geometrin I
Yttervinkelsatsen (sid 218-220)
Detta är inte mycket till sats, eftersom det är ett banalt resultat vars bevis tar en rad. Men ändå kan det vara svårt att se hur och när man ska använda yttervinkelsatsen (YVS) i ett problem. 4217 är ett bra exempel på detta (blir trivial om man ser rätt).
Randvinklar och medelpunktsvinklar (sid 222-225)
Det inleds med några begrepp på sida 222. Dessa gör man bäst i att lära sig. Man kan ju tänka ut bevis av satser och lösningar på uppgifter men begrepp och definitioner får man memorera.
Randvinkelsatsen är, till skillnad från yttervinkelsatsen, inte trivial. Man behöver rita en kritisk hjälplinje (och sedan är det enklare). Det är ganska typiskt för geometriska problem, rita "fiffiga" hjälplinjer - svårt, slutföra bevis efter att man ritat lämpliga hjälplinjer - lättare. Se fall 2 och 3 på sida 223 för "fiffiga" hjälplinjer.
Det finns också några konsekvenser/följdsatser av randvinkelsatsen. Spana in i boken.
Pythagoras sats (sid 226-228)
Kanske den mest kända matematisk satsen. Boken har det kanske enklaste beviset men man kan googla upp massa andra varianter. Särskilt intressant är det bevis som finns i Euklides elementa som är ett rent "pusselbevis" utan algebra (som Euklides inte kände till). Euklides bevis är dock utanför kursens ramar.
Värt att notera är att Pythagoras sats innehåller en ekvivalens, dvs. det är också sant att en triangel som uppfyller det algebraiska villkoret (areavillkoret) är rätvinklig.
4.3 Några klassiska satser i geometri II
Likformighet (sid 230-231)
Likformiga figurer har alltså samma form. För månghörningar betyder det att motsvarande vinklar och sidförhållanden är samma. För trianglar visar det sig att ett av villkoren räcker, dvs två trianglar är likformiga om motsvarande vinklar eller sidförhållanden är samma.
Topptriangelsatsen och transversalsatsen (sid 232-235)
Det mesta är i princip känt sedan tidigare, men problemen kan ändå vara knepiga.
Topptriangelsatsen är närmast självklar och bygger på att trianglar är likformiga om de har överensstämmande vinklar.
Transversalsatsen är egentligen bara en omskrivning av topptriangelsatsen, men kan vara smidigare i vissa fall.
Bevis med likformighet (sid 236-237)
Inget nytt i förhållande till tidigare avsnitt, bara fler och kanske lite svårare problem.
Kordasatsen och bisektrissatsen (sid 238-239)
Den "goda" nyheten är att dessa satser är angivna i formelbladet, den "dåliga" att deras bevis (som bara bygger på likformighet) är lite svårsedda. Fast en matematiker (och andra?) vill ju förstå och inte bara använda. Vi kollar kanske på bevisen på lektionen.
4.4 Koordinatgeometri
Avståndsformeln och mittpunktsformeln (sid 242-245)
Om man har koll på hur koordinatssystem fungerar och Pythagoras sats, så är avståndsformeln tämligen självklar. Det bästa är alltså att ha/skaffa sig denna koll och inte lära sig formeln utantill.
För mittpunkt gäller samma sak, lär er inte formeln utantill utan förstå den. Det är inte konstigare än att mittpunktens koordinater är medelvärdena av ursprungspunkternas koordinaterna var för sig. En mittpunkt ligger såklart mitt emellan i såväl $x$- som $y$-led. Rita figur om ni inte förstår.
Problemlösning (sid 246-248)
Inget ''nytt" men en del trevliga och lite svårare problem.