| Planering | Formelblad | Fredriks filmer |
| Material/prov | Nationella prov | GeoGebra |
| Susannes NP-dokument | WolframAlpha | |
| Ämnesplan | Mahifi, Joakims sida |
Kommentarer till kursen/kursboken
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 2.1 2.2 2.3 2.4 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 4.1 4.2 5.1 5.2 5.3 5.4
1.1 Repetition av räkneregler
I detta, och vissa andra avsnitt, ingår Repetition i rubriken. Det innebär att stoffet bör kännas igen från grundskolan. Det är väsentligt att behärska avsnittet väl då senare avsnitt bygger på. Så se till att repetera ordentligt, men efter behov. Det innebär att man gör så mycket uppgifter som man behöver.
Tal och prioriteringsregler (sid 10-13)
Förutom räknesätten måste man känna till och respektera prioriteringsregler. Observera t.ex. att i ett uttryck som $ \frac{2+8}{3+2} $ ska man först beräkna täljare och nämnare var för sig (trots att parentes saknas). Man kan också notera att "regeln" att $2+3=3+2$ (man får byta plats) är matematisk och en egenskap hos addition medan att man i $2+3 \cdot 4$ ska börja med multiplikationen ''bara'' är en konvention som människorna har kommit överens om. Man måste rätta sig efter båda men dom har helt olika urspung.
Problem
Konstruera ett uttryck som är lika med $100$ och som byggs upp av talen $1,2,3,4,5,6,7,8,9$, några av räkneoperationerna $+,-,\cdot, \div$ och parenteser. Varje tal ska användas precis en gång.
Negativa tal (sid 14-17)
Negativa tal kan man se som "motsatstal" till de positiva. Med det menas att t.ex. $2+(-2)=0$, dvs om man adderar ett positivt tal till det motsatta negativa får man noll. Observera att det i princip är två olika minustecken i ett uttryck som $5-(-2)$ även om de ser likadana ut (på räknedosan ser de olika ut dock). Det första minustecknet anger att två tal ska subtraheras, det andra att det är fråga om en "negativ" tvåa.
Precis som boken skriver tyckte man länge att negativa tal var skumma, och det dröjde in på 1600-talet innan de började accepteras i Europa. Det har vi svårt att förstå idag! Se här för lite historik.
Problem
Som bekant är $2 \cdot 3 = 6$. Detta kan man t.ex. inse genom att tolka vänsterledet som att man ska lägga ihop två stycken $3$:or, eller tolka som area (antal rutor) i en lämplig rektangel. Kan du ge någon förklaring till multiplikationerna med negativa tal?
• $2 \cdot (-3) = -6$
• $(-2) \cdot 3 = -6$
• $(-2) \cdot (-3)= 6$
1.2 Repetition av bråk och decimaltal
Tal i bråkform (sid 19-23)
Det finns en väsentlig skillnad mellan bråk och hela tal, hela tal som ser olika ut har olika värden medan bråk som ser olika ut kan ha samma värde, t.ex.
$$
\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{-3}{-6}.
$$
När man ska jämföra storleken på två bråk, eller kanske ange ett bråk mellan två givna bråk, är det lämpligt att skriva om dem på en gemensam nämnare. Även vid addition och subtraktion ser man till att man får gemensam nämnare, sedan skriver man på ett bråkstreck med additionen eller subtraktionen i täljaren. Amatörfelet
$$
\frac{2}{3} + \frac{1}{4} = \frac{2+1}{3+4} = \frac{3}{7}
$$
passar man sig för. Tänk efter själv varför resultatet ovan är helt orimligt.
När det gäller multiplikation av bråk fungerar det däremot att multiplicera täljare och nämnare var för sig. Tänk efter varför! Vid division skriver man som en multiplikation mellan täljaren och nämnarens inverterade värde. Tänk efter varför!
Någon kanske tycker det räcker att veta ATT något fungerar och struntar i VARFÖR. Givetvis blir matematiken mycket roligare och "räkneregler" blir mycket lättare att komma ihåg om man vet VARFÖR!
Problem
I en by är $\frac{2}{3}$ av männen gifta med $\frac{3}{5}$ av kvinnorna. Vilken andel av byns vuxna är gifta?
Tal i decimalform (sid 25-27)
Alla reella tal (alla tal på tallinjen) kan skrivas på decimalform. Ibland behövs oändligt många decimaler, t.ex
$$
\frac{1}{3}=0{,}333 \ldots ; \, \pi = 3{,}1415 \ldots
$$
Man kan också tänka igenom var olika tal placeras på tallinjen.
Det finns ingen matematisk anledning till att vi använder just ett decimalsystem (talsystem i basen $10$). I Ankeborg hade kanske individerna (ankorna) använt ett "oktalsystem" (talsystem i basen $8$). Varför?
Problem
Är det korrekt att $$0{,}999\ldots =1\; ?$$ Med $\ldots$ menas att mönstret ska fortsätta på samma sätt i oändlighet.
Avrundning och gällande siffror (sid 29-30)
Vid avrundning måste man kan koll på vilken position som är tiondel, hundradel osv. En avslutande $5$:a avrundas alltid uppåt så t.ex. $3{,}65 \approx 3{,}7$. Vad får man om man avrundar $0{,}9999$ till tusendelar, hundradelar, tiondelar respektive ental förresten?
Gällande siffror kan vara lite lurigt, framför allt i tal som avslutas med nollor. Ibland framgår det av sammanhanget, en prislapp på $10000$ kr har troligen alla nollor som gällande, medan om man anger att $10000$ personer var på en konsert så är nog inte alla nollorna gällande. Sättet att kringgå denna oklarhet är att skriva i grundpotensform, vilket det blir mer om längre fram. En genomgång av värdesiffror på YouTube av Anders Gustafsson finns här.
1.3 Algebraiska uttryck
Algebraiska uttryck (sid 32-34)
Lite slarvigt kan man säga att algebra handlar om bokstavsräkning (i "den högre" matematiken skulle man inte säga så men det funkar bra i Ma1c). Man observerar att det INTE finns några nya räkneregler bara för att det råkar finnas med bokstäver/variabler (som representerar okända tal). Så räkna som vanligt, och inga egna/nya påhitt!
I några uppgifter ska man själva översätta en svensk text till "matematiska", dvs skriva ett uttryck. Det kräver viss träning och att man läser rätt. Om man kör fast kan det vara en ide att lösa problemet med konkreta tal, men då fokusera på HUR man utför sin beräkning snarare än slutresultatet. Sedan försöker man ersätta sitt konkreta tal med variabeln.
På lektionen testar vi (nog)
https://www.parentconcept.com/printable-algebra-game
med hjälp av
https://www.online-stopwatch.com/countdown/
och en slumpgenerator.
Förenkling av algebraiska uttryck (sid 35-38)
Finns inte så mycket att säga om detta mer än vad som sagts ovan. Inte jätteroligt kanske men helt nödvändigt att behärska.
Datorer är stabila på att förenkla. Här https://www.symbolab.com/solver/simplify-calculator kan ni skriva in era uttryck så förenklas de med tillhörande förklaring. Testa det när ni kör fast! Funktionaliteten är dock inte tillgänglig på prov. Även GeoGebra har en CAS-funktion (Computer Algebra System) som man får upptäcka själv. Dock inte nödvändigt i denna kurs.
1.4 Linjära ekvationer
Lösning av linjära ekvationer (sid 40-43)
En ekvation är en likhet mellan två uttryck, som innehåller minst en variabel. $2x+1=x-2$ är en ekvation som man alltså fått genom att sätta uttrycken $2x+1$ och $x-2$ lika.
Att lösa en ekvation betyder att man ska finna samtliga möjliga värden på variabeln så att likheten uppfylls. I enkla fall kan man se lösningar någorlunda direkt, t.ex. är $x=-3$ en lösning till ekvationen ovan. I de flesta fall är det svårt att se lösningar direkt och man behöver göra en organiserad och successiv lösning. Då kan man också vara säker på att man inte missat någon lösning.
För att få träning gör man sin lösning skriftligt och organiserar den stegvis. Målet är alltid att få variabeln ensam (då är ju ekvationen löst), och principen är att man bearbetar den ursprungliga likheten på ett bra sätt. Man får göra "vad man vill" på en sida av likheten, bara man gör "samma sak" på den andra. Det handlar alltså om att "vilja" (på en sida gör man som man vill) och "måsta" (på andra sidan måste man göra samma sak).
Vad man ska göra beror på hur ekvationen ser ut. Man lokaliserar variabeln och "rensar" successivt kring denna. Om något är adderat till variabeln subtraherar man detta etc. Principerna är enkla men man måste träna på hantverket.
Mer om ekvationslösning (sid 44-46)
Här fortsätter det på samma tema, men kanske något svårare ekvationer.
Uttryck, ekvationer och bråk (sid 47-50)
Se till så ni förstår skillnaden mellan uttryck och ekvation. Ett uttryck kan man, lite slarvigt, säga är ''något'' som byggs upp av tal, variabler och räknesätt men INTE likhetstecken. Sätter man sedan två uttryck lika med varandra uppstår en ekvation.
När man räknar med "bråkuttryck" med variabler finns det INGA nya räkneregler. Det fungerar precis som bråkräkning, fast kan bli lite mer tekniskt (för man kan inte bunta ihop termer lika lätt).
Tillämpningar och problemlösning (sid 52-56)
Ingen ny matte här, men några trevliga problem. Kolla inte i facit för fort om ni kör fast, då förstör ni själva problemlösningen. Ytterligare två problem kommer här.
Problem
I figuren nedan visas en magisk kvadrat, med vissa tal ifyllda. En magisk kvadrat har egenskapen att om man summerar talen radvis, kolumnsvis eller längs endera diagonal, så får man alltid samma summa. Bestäm talet $x$.
| $x$ | 19 | 96 |
| 1 | ||
Problem
Om åtta år kommer Viktor att vara tre gånger så gammal som Alva var för ett år sedan. För tjugofem år sedan var summan av deras åldrar 83. Hur gammal är Viktor nu?
1.5 Procent och förändringsfaktor
Repetition av procentberäkningar (sid 60-62)
Om man har koll på räknesätt och räkneregler i allmänhet så vållar inte procentuppgifter några problem förutsatt att man kan tolka texten rätt. Man behöver såklart känna till att procent anger hundradelar, vilket betyder att man genast skriver om procent till decimaltal (eller bråk) och räknar på som vanligt.
Det som ibland kan missuppfattas är vad man räknar procent av. Antag att Rogerinas vikt ökat från $90$ kg till $100$ kg. Ökningen är då 10 kg och den procentuella ökningen ges av: $$ \frac{\textrm{förändring}}{\textrm{ursprungsvärde}}=\frac{10}{90} \approx 0,111 = 11,1\%. $$ Man ska alltså dela med ursprungsvärdet (90) och inte slutvärdet (100).
Förresten, momsen i Sverige är $25$%. Om du köper en vara som kostar $100$ kr i en affär så är momsen 20 kronor (pengar som alltså går till staten). Hur hänger det ihop?
Detta avsnitt kanske är så upphetsande, men nedan finns ett blandningsproblem som kanske är roligt att grunna på?
Problem
• a $90$ mL mixture that is $10.5\%$ vegetable glycerine,
• a $120$ mL mixture that is $30 \%$ vegetable glycerine, and
• a $1$ L mixture that is $7.5 \%$ vegetable glycerine.
Since Kathy is a math teacher, she knows she can use the contents of these three mixtures to create a mixture that is $12\%$ vegetable glycerine, by volume. She combines the contents of the entire $90$ mL mixture with the contents of the entire $120$ mL mixture, and then adds some of the $1$ L mixture. How many millilitres of the $1$ L mixture should she add to create a new mixture that is $12\%$ vegetable glycerine, by volume?
Repetition av procentenheter och jämförelser (63-65)
Vad gäller procentenheter så är det i princip enkelt (men jag har hört Sveriges finansminister säga fel!). Om något ändrar sig från $5$% till $3$% så är förändringen en minskning på $40$% (ett förhållande). Samtidigt är minskningen två procentsteg. Vi säger då att minskningen är två procentenheter.
Förändringsfaktor (sid 66-69)
Exempel
Antag att Rogerinas hyra är $6000$ kr och ökar med $5$%. Vad blir då hennes nya hyra?
• Alt1. $5$% av $6000$ är $0{,}05 \cdot 6000 = 300$ så hyran höjs med $300$ kr och blir alltså $6300$ kr.
• Alt2. Ursprungshyran är $100$% av ursprungshyran (känn på den!). Sedan lägger man på $5$% av ursprungshyran. Alltså måste den nya hyran vara $105$% av ursprungshyran. Men $105 \%= 1{,}05$ så den nya hyran ges av $1,05 \cdot 6000 = 6300$ kr.
Om man är intresserad av det nya värdet snarare än ökningen/minskningen är det smidigast att använda alternativ 2. Talet $1{,}05$ kallas förändringsfaktor och är alltså vad ursprungsvärdet ska multipliceras med för att man ska få det nya värdet. Ytterligare ett skäl att använda förändringsfaktor är att det går enkelt att hantera upprepade procentuella förändringar.
Om Rogerina råkar få en hyressänkning på $5$% istället blir förändringsfaktorn $100 \% - 5 \% =95 \ %=0{,}95 \%$ och hennes nya hyra blir $0{,}95 \cdot 6000 = 5700$ kr.
Procentuella förändringar i flera steg (sid 70-73)
Exempel
Om man sätter in $500$ kr på ett sparkonto med räntesatsen $2$% och låter pengarna stå orörda i tio år, hur stor blir då behållningen?
För att beräkna detta arbetar man med fördel med förändringsfaktorn, som i detta fallet blir $1{,}02$. Varje år får man den nya behållningen genom att multiplicera den gamla med $1{,}02$. Efter ett år har man alltså $500 \cdot 1{,}02$ kr (vänta med att räkna ut detta). Efter två år har man $$(500 \cdot 1{,}02) \cdot 1{,}02 = 500 \cdot 1{,}02^2.$$ Fortsätter man på samma sätt inser man att behållningen efter tio år blir $$ 500 \cdot 1{,}02^{10} \approx 609{,}50 \textrm{ kr}. $$
Notera hur smidigt det blir med förändringsfaktor!
2.1 Potenser
Potenslagar (sid 88-91)
Detta bör ni känna igen. Så länge man har positiva heltalsexponenter så kan man tänka ut alla räkneregler enkelt utifrån upprepad multiplikation.
Exponenten noll och negativa exponenter (sid 92-93)
Notera att $a^0=1$ (varför?) och $0^a = 0$ (varför?) om $a \neq 0$. I uttrycket $0^0$ kan man säga att dessa båda regler konkurrerar och det enklaste är att låta $0^0$ vara odefinierat, precis som t.ex. $\frac{1}{0}.$
För att få potenslagarna att fungera gör man definitionerna
Definition
• $a^0=1$
• $a^{-x} = \dfrac{1}{a^x}$
om $a \neq 0$.
Anm. Om $a < 0$ fungerar bara uttrycken för vissa värden på $x$, så man får vara lite försiktig.
I matematiken vill man i princip ha konsekventa och enkla "räkneregler". Man väljer definitioner därefter.
Problem
Bestäm $x$ om $$ 2^{2^{3^{2^2}}}=4^{4^x} $$ Notera att potenserna beräknas ''uppifrån och ner".
Repetition av grundpotensform och prefix (sid 95-97)
För att spara plats och underlätta räkningar så skriver man ofta stora och små tal på grundpotensform. T.ex. är elektronens massa (i kg) $$9{,}1093826 \cdot 10^{-31}=0{,}00000000000000000000000000000091093826$$ Gissa vilket som är smidigast!
Man hanterar också nollor som eventuella värdesiffror i slutet av tal med hjälp av grundpotensform. Om man säger att man ser 100 personer på Spykens innergård så är det oklart om ingen, en eller båda nollorna är gällande. Det kan ju vara så att man faktiskt räknat till exakt 100, och då är båda nollorna gällande. Det kan också vara så att man skattat till närmsta hundratal och då är ingen av nollorna gällande. Det hanterar man såhär: $1 \cdot 10^2$ har ingen gällande nolla (och alltså en gällande siffra nämligen 1:an), $1{,}0 \cdot 10^2$ har en gällande nolla och $1{,}00 \cdot 10^2$ har två gällande nollor.
Istället för tiopotenser kan man använda prefix. Det är vanligt i tillämpningarna, medan man i matematik och beräkningar föredrar tiopotenser. Man bör känna till de vanligaste, milli, centi, deci, hekto, kilo medan övriga kan kollas upp vid behov. Observera att kilo alltså betyder $1000$. Om något väger ett "kilo" är det korrekta enheten såklart kilogram. Boken utelämnar prefixet för $10^1$. Sådant finns men är ganska ovanligt. Ta reda på själv om du vill.
För att få lite perspektiv på våra "moderna" enheter och prefix kan man kolla in sidan med gamla mått.
2.2 Potensekvationer
Kvadratrötter och ekvationen $x^2=a$ (sid 98-101)
För att lösa ''enkla $x^2$-ekvationer'' är lösningsstrategin som tidigare att man stuvar om i likheten så att $x$-potensen blir ensam (om det behövs). Sedan "städar man bort" potensen som följande exempel visar;
Exempel
Lös ekvationen $x^2=36$.
Vi får $$ x^2 = 36 \Leftrightarrow x=\pm 36^{1/2} = \pm \sqrt{36} = \pm 6$$
så både $x=6$ och $x=-6$ är lösningar till ekvationen.
Observera att "kvadratroten ur" alltid ger ett icke-negativt tal, därför behövs plus/minus framför för att lösningen ska vara fullständig.
Problem
Vilket av talen $1{,}9$; $2{,}2$; $2{,}5$ eller $2{,}7$ ligger närmast $$\sqrt{\frac{10000}{2012}} \;?$$ Löses utan räknare (annars ''meningslös'')!
Potensekvationen $x^n=a$ (sid 102-105)
En potensekvation har formen $$ x^n = a $$ där $n$ är ett heltal. En sådan löses såhär, med $n=4$ och $a=5$;
Exempel
Lös ekvationen $x^4=5$.
Vi får $$ x^4 = 5 \Leftrightarrow (x^4)^{\frac{1}{4}} = \pm 5^{\frac{1}{4}} \Leftrightarrow x= \pm 5^{\frac{1}{4}} \approx \pm 1{,}495. $$
Eftersom $n=4$ är ett jämnt tal får vi alltså två lösningar.
Observera att om $n$ är jämnt måste man själv komma ihåg att lägga till $\pm$. Om däremot $n$ är udda och $a \geq 0$ så blir det endast en positiv lösning. Tänk efter varför!
Potenslagar och kvadratrötter (sid 106-107)
Kvadratrötter är bara ett specialfall av en potens, nämligen den med exponenten 1/2, dvs $$ 9^{\frac{1}{2}} = \sqrt{9} = 3 $$ Därmed har varje potenslag en motsvarighet för kvadratrötter (egentligen samma lag). Dessa presenteras i bokens röda ruta. För kvadratrötter och räknesätten addition och subtraktion finns det INGA räkneregler. Man får helt enkelt räkna klart innanför rottecknet först. $$ \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{25}=5 \textrm{ men } \sqrt{3^2+4^2} \neq \sqrt{3^2}+\sqrt{4^2} = 3 + 4=7 $$
Problem
Avgör, med 'handräkning'' om $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ är större än eller mindre än $3$.
Fungerar din metod generellt? Om du ges tre positiva heltal $a$, $b$ och $n$, kan du avgöra om $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ är större än eller mindre än $n$? Med stora tal blir ''handräkningen'' så klart lite mer arbetssam men fungerar det i princip?
Ekvationslösning med digitalt verktyg (sid 108-109)
Ska man lösa ekvationer digitalt är GeoGebra överlägset räknaren, så börja genast träna på GeoGebra. Man kan rita grafer och ta skärningspunkt eller använda olika "Lös"-kommandon.
2.3 Uttryck och formler
Multiplikation av uttryck (sid 113-116)
Det är förhållandevis enkelt att multiplicera ihop uttryck, man använder bara den distributiva lagen och snyggar till.
Exempel
Utveckla/multiplicera ihop/skriv som en summa, $(x+2)(3x+4)$.
Varje term i den första parentesen "delas ut"/distribueras med multiplikation till varje term i den andra parentesen, och vi får $$\begin{split} (x+2)(3x+4)& = x \cdot 3x+ x\cdot 4+ 2 \cdot 3x + 2 \cdot 4 \\ & = 3x^2+ 4x+6x+8\\ & =3x^2+10x+8 \end{split} $$
Uppgifterna i detta avsnitt är inte så upphetsande men man tränar till man har automatiserat.
Här https://www.symbolab.com/solver/simplify-calculator kan man förenkla online, med förklarande steg. Testa gärna om ni kör fast på någon uppgift.
Faktorisera (sid 117-119)
I allmänhet är det enkelt att multiplicera ihop faktorer (i alla fall behöver man inte vara så "fiffig"). Att återställa faktorer, eller faktorisera, är svårare och kräver att man ser på uttrycket på rätt sätt. Den enklaste varianten är att man bryter ut något som är gemensamt i termerna. Bra på detta blir man genom att träna...
Problem
När man förkortar bråk "stryker" man alltså en faktor i täljaren mot samma i nämnaren. Med speciella siffror leder också felaktiga "strykningar" till korrekta resultat. T.ex. om man "stryker" $6$:orna nedan. $$ \frac{64}{16} = \frac{4}{1} = 4$$ Konstruera ytterligare ett exempel med tvåsiffriga tal där det det blir rätt trots fel. Gör inget uppenbart exempel.
Formler (sid 121-124)
Lite slarvigt kan man säga att en formel är en likhet mellan en variabel och ett uttryck med en eller flera variabler. En välkänd formel från fysiken är $s = v \cdot t$.
Här går det ut på att "översätta" text, tabeller och figurer till formler och sedan kanske göra några beräkningar. Kom ihåg att du måste tala om vad de förekommande variablerna står för. Rimligen känner man till hur man sätter in i formler så uppgifterna nedan tränar i första hand hur man konstruerar en formel.
Man måste behärska lite om formler när man ska ta körkort
https://korkortonline.se/teori/reaktion-broms-stopp/.
Lösa ut ur formler (sid 125-127)
I fysik, kemi, matematik etc. är det fullt med formler. I "ursprungsformeln" är ofta en av variablerna (bokstäverna) ensam (utlöst). T.ex. kan man säga att $s$ är utlöst i formeln $s = v \cdot t$. Nu kan det ju vara så att man råkar känna till $s$ och $t$ och att $v$ sökes. Självklart lär man sig då inte en ny formel utan använder den ursprungliga, men löser ut $v$ i denna. Sagt och gjort $$ s = v \cdot t \Leftrightarrow v = \frac{s}{t}. $$ För att man ska slippa lära sig/memorera en massa varianter av en formel är det viktigt att kunna lösa ut vilken variabel som helst (går iofs inte alltid). Det ska man träna på dessa sidor.
Om man inte orkar själv, eller vill få tips, så kan man be datorn "lösa ut" här
https://www.symbolab.com/solver/solve-for-equation-calculator
2.4 Formler och generella samband
Algebra och geometriska formler (sid 132-135)
Den geometri som presenteras på sida 132 ska vara känd och formlerna kan man också hitta på formelbladet. Man kan se avsnittet som en repetition av geometrin och en tillämpning av formler i konkreta situationer.
Upptäcka och uttrycka mönster (sid 136-137)
Här handlar det om att från en figur eller en text ''algebraisera'', dvs. konstruera en formel. Sedan ska man dra slutsatser eller göra beräkningar utifrån denna. Om man väl förstått texten eller figuren så blir det ganska enkelt. Misslyckas man med det eller tänker fel kraschar ofta hela uppgiften. Så var på ''helspänn'' inledningsvis.
Upptäcka och uttrycka generella samband (sid 138-142)
Snarlikt förra avsnittet, men kanske är det lite mer omväxlande situationer som ska undersökas. Ibland är det inte så lätt att upptäcka samband. Ett strategi är då att sätta igång att testa konkreta fall, t.ex. genom att sätta in värden (lösa ett specialfall) eller vika ett papper, kolla i en kalender eller ta fram sina tändstickor.
Tid över, kolla på denna https://nrich.maths.org/steelcables
3.1 Grafer och funktioner
Koordinatsystem (sid 156-159)
Att länka samman algebra ("bokstavsräkning") och geometri ("figurer") är ett relativt nytt påfund. Det lär ha varit en febrig Descartes som först gjorde kopplingen på 1600-talet (notera alltså att t.ex. grekerna gjorde all sin geometri utan koordinatsystem). Själva sammanlänkningen går via koordinatsystem som (oftast och i kursen) byggs upp av två vinkelräta, skalade axlar som skär i ett origo. På detta sätt kan t.ex det "algebraiska" $y=2x$ ses som en linje och $y=x^2$ som en parabel.
Man bör känna till begrepp som axlar, punkter, koordinater, kvadranter, avstånd i samband med koordinatsystem. Lär er detta utantill.
Ett mycket trevligt "program" som använder geometri ihop med algebra är GeoGebra (det hörs alltså på namnet). Ha detta program i beredskap på alla uppgifter där grafer ska ritas. Även om man också måste räkna/tänka själv så "boostar" man ofta sin intuition med GeoGebra.
Treasure hunt är ett enkelt "spel" i ett koordinatsystem som man kolla på om man har långtråkigt. Vilken är bästa strategin?
Funktion - Formel, värdemängd och graf (sid 160-164)
En mer precis definition av begreppet funktion dyker upp längre fram (sida 196). Här tänker vi på en funktion som ett samband mellan två storheter/variabler så att varje $x$-värde ger högst ett $y$-värde. Här är variablerna $x$ och $y$, men i princip kan man använda vilka bokstäver som helst. Samband kan man presentera på olika sätt;
- i ord; "$y$ är det tal man får om man dubblar $x$"
- med formel: $y=2x$
- med värdetabell (se exempel i bok)
- med graf (se exempel i bok)
Tänk gärna efter vad det finns för fördelar och nackdelar med respektive representationsform. Uppgifterna i boken går ut på att växla mellan de olika representationsformerna.
Räta linjer i vardagliga sammanhang (sid 165-169)
En rät linje har formen $y=kx+m$. Eller, om man formulerar sig lite noggrannare, så är grafen till funktionen $y=kx+m$ en rät linje. Linjen bestäms alltså av två tal, $k$ och $m$. Talet $m$ kan man tänka på som ett "startvärde" eller bättre som det $y$-värde där linjen skär $y$-axeln. Talet $k$ anger lutningen på formen $$ k=\frac{\textrm{ändring i y-led}}{\textrm{ändring i x-led}} $$ Om man ''går'' ett steg i $x$-led kommer därför $k$-värdet vara precis höjden på det ''trappsteg'' som linjen följer.
Många enkla verkliga samband modelleras med räta linjer. T.ex. kan en körskola ta 4700 kr för teoripaket, risketta och risktvåa (halka) och sedan 550 kr per 40 minuters körlektion. Om man låter $y$ vara totalpriset om man tar $x$ lektioner fås $$ y=550x+4700 $$ Till sist kan man notera att om $m$-värdet är 0, alternativt att grafen går genom origo, så talat man om en proportionalitet.
3.2 Räta linjens ekvation
Avläsa k-värdet och m-värdet (sid 173-177)
Här handlar det om att växla mellan den algebraiska framställningen av en rät linje, $y=kx+m$ och dess graf. Man noterar att $m$-värdet är $y$-koordinaten för linjens/grafens skärning med $y$-axeln (man kan lite slarvigt tänka på detta som startvärdet). $k$-värdet visar hur linjen lutar. Positiva $k$ ger lutning uppåt och negativa nedåt. Ju större $k$ desto brantare linje. Mer exakt så är $k$-värdet hur linjen förändras i $y$-led för varje steg i $x$-led.
Bestämma räta linjens ekvation (sid 178-181)
Givet två punkter finns exakt en rät linje som går genom dessa. För att bestämma linjens ekvation på formen $$ y=kx+m $$ är det oftast enklast att börja med $k$-värdet, genom $$ k=\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\textrm{ändring i y-led}}{\textrm{ändring i x-led}} $$ När väl $k$ är bestämt sätter man in en punkt (vilken som helst) i linjen ekvation och räknar ut $m$.
Anders Karlsson (mattelärare vi Ållebergsgymnasiet i Falköping) har lagt upp en radda YouTubeklipp om olika delar av gymnasiematematiken. Kolla gärna in!
Matteskolan: Rita linje från ekv. y=kx+m, "trappstegsmetoden"Parallella och vinkelräta linjer (sid 182-184)
Att två linjer är parallella precis om de har samma lutning och dämed samma $k$-värde är närmast självklart. Sambandet mellan lutningarna hos två vinkelräta linjer kräver lite eftertanke. Som ni ser i boken så kan man illustrera det genom att rotera en lämplig triangel 90 grader och hålla koll på vad som händer med sidlängderna. "Extraläraren" Anders har några instruktiva YouTube-klipp
Matteskolan: Vinkelräta linjer, "k-form", ex 1
Matteskolan: Vinkelräta linjer, "k-form", ex 2
Matteskolan: Parallella linjer på allmän form, härledning och exempel
Problem
Rogerina har satt ut hörnen på en tomt (i ett koordinatsystem) i punkterna $(1,1)$, $(5,3)$, $(1,11)$ och $(-3,8)$. Meningen är tomten ska vara en rektangel men det visar sig att Rogerina har gjort fel. Hjälp Rogerina att ta reda på vilket hörn som är felsatt och var detta istället skulle vara placerat. Använd en så generell metod som möjligt som också skulle kunna hantera koordinater såsom $(15672{,}314;4353{,}143)$, dvs en metod där man kan räkna inte bara titta.
Olika former för räta linjens ekvation (sid 185-187)
Man kan ju tycka att det kan räcka med att presentera linjers ekvation på s.k. $k$-form: $$ y=kx+m $$ Särskilt lämplig är denna form då man ska rita grafen i ett koordinatsystem. I andra sammanhang kan det dock vara bättre med den så kallade allmänna formen: $$ Ax+By+C=0 $$ Ett skäl är att man också kan uttrycka vertikala linjer på denna form (tag $B=0$). Senare i livet kanske ni stöter på problem i högre dimensioner (t.ex. plan i 3 dimensioner). Även då är ofta den allmänna formen att föredra eftersom den är "symmetrisk".
Matteskolan: Räta linjens ekv. allmän form
3.3 Olikheter
Intervall (sid 190-192)
Med olikhetstecken kan man teckna intervall på en axel. Notera att man har ifyllda eller oifyllda cirklar i ändpunkterna beroende på om ändpunkter ingår eller inte.
Linjära olikheter (sid 193-195)
En olikhet med $x$ är i princip som en ekvation, fast med ett olikhetstecken istället för $=$. Man löser olikheter på samma sätt som ekvationer med den väsentliga skillnaden att om man dividerar eller multiplicerar med ett negativt tal så måste olikheten vändas. Tänk efter varför det är så!
3.4 Mer om funktionsbegreppet
Skrivsättet $f(x)$ (sid 196-199)
En funktion är en regel som till en given indata ger en bestämd utdata. Man brukar låta funktioner betecknas med $f$ (eller $g$ eller $h$ om man har flera). Den utdata man får från funktionen då man "stoppar in" $x$ skrivs ofta $f(x)$ och utläses "$f$ av $x$". Ibland pratar man om funktionen som $f(x)$ istället för bara $f$.
Om vi t.ex. har $f(x)=2x+1$ så skriver vi utdatan som vi får om vi "stoppar in" $x=3$ som $f(3)=2\cdot 3 +1$. Efter uträkning fås
$f(3)=7$. Detta utläses som ''$f$ av tre är sju''. Om man kikar i funktionens graf så innebär det att grafen går genom punkten där $x=3$ och $y=7$. Man kan alltså se $f(3)=7$ som ett $y$-värde.
Problem
Låt $f(x)=2x+3$ och antag att $$g(x+2)=f(f(x-1) \cdot f(x+1)+f(x))$$ Bestäm $g(6)$.
Grafisk lösning av ekvationer och olikheter (sid 201-204)
Här handlar det om att tolka algebraiska uttryck grafisk och med hjälp av denna tolkning lösa ekvationer och olikheter. Att lösa t.ex.
$$
2x+1=3x-5
$$
grafiskt innebär att finna x-koordinaten för skärningspunkten mellan graferna till funktionerna $f(x)=2x+1$ och $g(x)=3x-5$ (som råkar vara linjer). Antingen ritar man en snygg egen figur eller använder man GeoGebra och Skärningspunkt.
Om man istället vill lösa olikheten $2x+1 < 3x-5$ grafiskt bestämmer man samtliga $x$-värden för vilka linjen $f(x)=2x+1$ ligger under linjen $g(x)=3x-5$. Ofta är första steget att lösa motsvarande ekvation $2x+1=3x-5$ och sedan kolla vilken sida som motsvarar lösningen på olikheten. Har man tillgång till GeoGebra kan man bara skriva in $f(x) < g(x)$ så visas spannet med de korrekta $x$:en.
Definitionsmängd och värdemängd (sid 205-208)
Ska man vara petig (och ibland behöver man vara det) så är en funktion inte bara en regel. Man vill ibland deklarera från vilken mängd indatan tas och var utdatan hamnar. Den mängd som fungerar som indata heter med ett finare ord definitionsmängd medan utdatamängden heter värdemängd.
Om $y=f(x)=x^2$ är en funktion som beräknar arean av en kvadrat med sida $x$ så är definitionsmängden $x \geq 0$ (det finns inga negativa sidlängder) och värdemängden alla $y \geq 0$ (det finns inga negativa areor).
Om $y=f(x)=25x$ är kostnaden om man köper $x$ chipspåsar för 25 kr/styck så är definitionmängden talen 0, 1, 2, 3, 4,... (för man måste köpa hela påsar) och värdemängden 0, 25, 50, 75, 100, ... Hade man ritat grafen till denna funktion hade det blivit osammanhängande punkter.
3.5 Olika typer av funktioner
Linjära funktioner (sid 209-211)
I princip ingen ny matematik här. Det handlar om den linjär funktionen $y=f(x)=kx+m$ i mer eller mindre verkliga sammanhang. Ibland måste man läsa texten och själv snickra funktionen.
Exponentialfunktioner (sid 213-216)
Denna typ av funktioner har ni i princip redan stött på i kapitel 1, nämligen vid upprepad procentuell förändring. Säg att ett kapital på 1000 kr förräntas med årsräntan 5%. Kapitalet $K(t)$ efter $t$ år ges då av funktionen
$$
K(t)=1000 \cdot 1,05^t
$$
vilket är en exponentialfunktion. Det typiska är att den obekanta ska stå i exponenten (inte i basen). I allmänhet har en exponentialfunktion utseendet
$$
y=C \cdot a^x
$$
där $C$ och $a$ är givna tal.
Att rita graferna till dessa funktioner (det blir inte räta linjer) är jobbigt att göra för hand. Kör med GeoGebra, men tänk efter varje gång om grafen verkar rimlig.
Potensfunktioner (sid 217-221)
Detta är den sista typen av funktion som ni "drabbas" av i denna kurs. "Formeln" för en potensfunktion är $$ f(x)=C \cdot x^a $$ där $C$ och $a$ är givna tal. Observera att den obekanta, $x$, är i basen i en potensfunktion medan den var i exponenten i en exponentialfunktion. Liten skillnad typografiskt men helt olika beteenden som funktioner, så skilj dem åt.
Matematiska modeller - egenskaper och begränsningar (sid 225-230)
Ingen ny matematik men lite blandade "textproblem". Det är viktigt att man sätter upp rätt matematisk modell, annars kvittar det om man räknar rätt för övrigt.
4.1 Trigonometri
Beräkna sträckor med tangens (sid 246-248)
Beräkna vinklar med tangens (sid 249-250)
Sinus och cosinus (sid 251-254)
Bokens uppdelning känns lite artificiell så här kommer en sammanfattning av all trigonometri i 4.1.
Trigonometri betyder (fritt översatt) "trevinkelmätning", vilket antyder att det handlar om vinklar och trianglar. En bättre förklaring är att trigonometri handlar om samband mellan sidlängder och vinklar i trianglar. Om trianglarna är rätvinkliga (vilket dom är i Ma1c) kommer dessa förhållanden att ha särskilda namn.
Antag att vi har en rätvinklig triangel där de båda icke-räta vinklarna är kända. Triangelns form (men inte storlek) är då entydigt bestämd. Detta innebär i sin tur att sidförhållandena är entydigt bestämda (tänk igenom detta). Alltså finns det funktioner som till en given vinkel ordnar olika sidförhållanden. Såhär heter dessa funktioner:
$$
\sin v = \frac{\textrm{motstående katet}}{\textrm{hypotenusa}}\\
\cos v = \frac{\textrm{närliggande katet}}{\textrm{hypotenusa}} \\
\tan v = \frac{\textrm{motstående katet}}{\textrm{närliggande katet}}
$$
Knappar för dessa funktioner finns på räknaren. Hur den gör för att beräkna dem är en senare historia.
Vill man "gå åt andra hållet", dvs om man känner till en sidkvot i en rätvinklig triangel och söker vinklar, använder man inverserna $\sin^{-1}, \cos^{-1}, \tan^{-1}$. Dessa hittar man på samma knapp på räknaren fast som "andrafunktion".
Sträckor och vinklar i koordinatsystem (sid 255-257)
Koordinatsystem förklarades på sida 156 så egentligen inget nytt. Man ska räkna ut avstånd mellan punkter och vinklar från linjer. Alltså går att översätta till trianglar.
4.2 Vektorer
Vad är en vektor? (sid 260-263)
En vektor är en storhet som har avstånd och riktning, men valfri startpunkt. Ett lämpligt sätt att illustrera vektorer är med pilar (som alltså får flyttas som man önskar så länge man inte ändrar längd eller riktning på pilen). När man befinner sig i ett koordinatsystem (i ett plan) kan vektorerna beskivas av koordinater. Man placerar helt enkelt vektorpilens startpunkt i origo och läser av i vilken punkt spetsen hamnar.
Beräkningar med vektorer (sid 265-267)
Addition av två vektorer innebär att man lägger dem i ett "tåg" efter varandra och tar fram resultanten, som är vektorn från första vektorns fotpunkt till andra vektorns slutpunkt. Notera att vägen inte är intressant, bara var man börjar och var man slutar. Att multiplicera en vektor med en konstant är det samma som att omskala vektorpilen.
Vektorer i koordinatform (sid 268-270)
Räknereglerna blir naturliga, man räknar helt enkelt koordinatvis (men tänk gärna efter så ni förstår varför det funkar så).
5.1 Repetition av sannolikhet
Introfrågor sannolikheter;
Problem
• En sexsidig tärning kastas. Vad är sannolikheten att få
a) en femma?
b) ett udda tal?
c) något annat än en etta?
• Två sexsidiga tärningar kastas. Vad är sannolikheten att få
a) summa 12?
b) summa 7?
c) Vi tänker oss att man kan satsa pengar på summan. Vad är du beredd att betala för en satsning på summa 5 om vinst (dvs att det blir just 5) ger dig 100 kronor?
• Två mynt kastas. Hur stor är sannolikheten att man får en klave och en krona om ordningen är oväsentlig?
• Rulle har åkt till kasinot i Malmö för att spela roulette. Innan han spelar själv observerar han spelet och för statistik på de nummer som kommer upp. Efter tusen rundor känner han sig redo att spela. Det nummer som har kommit upp minst antal gånger hitintills är 23. ”Då måste det vara störst chans att 23 kommer nu, eftersom alla nummer är lika vanliga i långa loppet”, tänker Rulle och satsar på 23. Tänker han rätt?
• I TV-programmet ”24 karat” från tidigt 90-tal gick finaltävlingen till på följande sätt: Finalisten skulle välja på en av tre lådor. I en av dessa fanns 1 kg guld, i de båda andra fanns sunkiga T-shirts. Finalisten valde en låda, programledaren Harald Treutiger öppnade en av de återstående lådorna och sa ”Här är inte guldet, vill du byta låda?”. Det återstår alltså två oöppnade lådor. Hur ska du göra för att maximera din chans och hur stor blir den?
• Hur många elever behövs det i en klass för att sannolikheten att åtminstone två av dem ska ha samma födelsedag blir större än 50%? Lite bökigt att beräkna, men vad säger er intuition?
• Matteläraren ska ge klassen ett oförberett läxförhör under veckan. Det är mycket viktigt att förhöret blir oförberett, så om eleverna av någon anledning kan lista ut att förhöret kommer ”dagen efter”, så kommer det att ställas in. Klassens mattegeni förklarar att han redan på måndagen kan säga att det inte blir något läxförhör. Hur resonerar han?
Sannolikheter för en händelse (sid 284-287)
Detta är nog ett ganska lätt avsnitt och ni bör känna igen er. Ha inte för bråttom dock utan se till så ni har ögnat igenom texten på sida 284-285. Det finns några begrepp som man bör känna till.
Sannolikhet och relativ frekvens (sid 288-289)
Ibland (i "verkligheten") måste man göra försök för att få fram sannolikheter för olika utfall. Det räcker alltså inte att man sätter sig på kammaren och tänker. Iden är enkel, man gör massor av försök och räknar efter hur många utfall som är gynnsamma. Den relativa frekvensen (kvoten mellan antalet gynnsamma utfall och samtliga utfall) blir då en bra uppskattad sannolikhet.
Observera att man måste göra många försök. Om man singlar slant en gång, noterar krona, och sedan påstår att det är 100% chans att det blir krona vid slantsingling så är man "ute och cyklar".
5.2 Slumpförsök i flera steg
Försök med två föremål (sid 290-292)
Vid försök med två föremål, eller i två steg (samma sak i princip), kan utfallen i försöken markeras på en $x$- och $y$-axel. Punkter i koordinatsystemet kommer sedan att motsvara olika utfall. Man ser sedan lätt hur många olika utfall det finns (typ basen gånger höjden) och det är också lätt att markera och räkna gynnsamma utfall.
Här finns några uppgifter på kast med två T6.
Träddiagram (sid 293-296)
I träddiagram kan man (i teorin) illustrera försök med "massor" av steg eller föremål. Observera att man behöver skriva ned sannolikheterna på de enskilda grenarna och att man sedan kan räkna ut sannolikheten för en väg genom trädet genom att multiplicera sannolikheterna längs grenarna. Om det finns flera gynnsamma utfall räknar man ner sannolikheterna för varje väg genom trädet och adderar sedan de gynnsamma utfallens sannolikheter. I praktiken är det dock svårt att rita stora träddiagram, men då kan man ändå TÄNKA träddiagram även om man inte ritar.
Beroende händelser (sid 298-300)
Om utfallet av en senare händelse beror på utfallet av en tidigare talar man om beroende sannolikheter. Om man t.ex. plockar godis, utan återläggning, ur en påse med 5 kolor och 4 punschpraliner blir ju sannolikheten att få en punschpralin andra gången man plockar beroende på vad man fick i första.
Komplementhändelse (sid 301-302)
Ibland är det smidigast att "backstabba" vissa sannolikhetsberäkningar. På mer vårdat språk innebär det att man räknar på komplementhändelsen (motsatsen, resten). Man räknar helt enkelt ut sannolikheten för motsatsen och bestämmer sedan "ett minus motsatsens sannolikhet" och får då sannolikheten för den ursprungliga händelsen.
5.3 Matematik och ekonomi
Lån, ränta och amortering (sid 307-309)
Här handlar det om några begrepp från "bankvärlden", lite procenträkning och sunt förnuft. Matematiskt ointressant enligt mig, men ändå bra att koll på så man t.ex. inte blir lurad av snabblån.
En introduktion till kalkylprogram (sid 310-311)
Kalkylblad finns t.ex. i GeoGebra men har ganska begränsad funktionalitet. Så vi kör istället med Google Sheets (som liknar Excel). Man behöver inte kunna särskilt mycket men bör känna till hur man matar in värden och gör enkla formler i en ruta.
Lån, ränta och amortering med kalkylprogram (sid 312-315)
Detta är ett hopkok av två senast avsnitten, dvs. gör ett kalkylblad för att räkna på lån.
5.4 Statistik
Det mesta i detta avsnitt går ut på att lära sig ett antal begrepp, och sedan använda sitt sunda förnuft.
Stickprov och urvalsmetoder (sid 316-319)
Ofta är det ogörligt att undersöka en hel population. Istället gör man stickprov med ett urval som i sin tur kan göras på olika sätt. Se till så ni kan alla begreppen på sida 316-317.
Ett stickprov, väljarbarometern inför 2022.
Signifikans och felkällor (sid 320-324)
Statistiska undersökningar har (minst) två problem.
1. Man får ett skevt/felaktigt resultat eftersom man ställt frågor fel/oklart eller gjort ett dåligt urval. Dessutom kan resultaten tolkas fel (medvetet eller omedvetet). Dessa fel beror i huvudsak på "mänsklig faktor".
2. Man får ett resultat som inte motsvarar det verkliga av slumpmässiga skäl, beroende på att man undersöker stickprov och inte hela populationen. Denna osäkerhet finns alltid och hanteras genom att man anger konfidensintervall och talar om statistiskt signifikans. Läs på om dessa begrepp i boken.
Här är ett exempel på en tveksam fråga i en undersökning:
http://www.math.chalmers.se/~olleh/Maud_och_TEMO.pdf
Korrelation och kausalitet (sid 326-330)
Korrelation är ett ganska enkelt begrepp. Att säga att två saker korrelerar betyder att det finns en relation mellan deras utfall. T.ex. finns det en stark positiv korrelation mellan antalet poäng på NP i Ma1c och slutbetyget i kursen. Hög poängsumma sammanfaller väl med högt slutbetyg. Det finns en lägre negativ korrelation (men dock) mellan frånvaro och slutbetyg. En högre frånvaro har (i genomsnitt) en viss koppling till ett lägre slutbetyg.
Kausalitet betyder orsakssamband, dvs. en sak orsakar en annan. Det kan vara svårt att reda ut, och känns inte så "matematiskt". Man kan säga att goda kunskaper om stoffet i kursen orsakar ett högre slutbetyg (en kausalitet) medan hög frånvaro inte (direkt) orsakar lägre slutbetyg (ingen kausalitet). Det är ju inte frånvaron i sig som ger lägre betyg utan att man inte lyckats att lära sig tillräckligt av kursstoffet. Men som sagt, kausalitet är ofta luddigt (enligt mig).