| Planering | Formelblad | Fredriks filmer |
| Material/prov | Nationella prov, senaste | GeoGebra |
| Nationella prov, äldre | WolframAlpha | |
| Susannes NP-dokument | Mahifi, Joakims sida | |
| Ämnesplan |
Kommentarer till kursen/kursboken
1.1 1.2 1.3 1.4 2.1 2.2 2.3 2.4 3.1 3.2 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5
1.1 Trigonometri och enhetscirkeln
Repetition av trigonometri (sid 10-11)
Gammal skåpmat från Ma1c, som man bör känna igen.
Enhetscirkel (sid 12-15)
Detta är delvis (helt?) känt från Ma3c, fast där nöjde man sig kanske med vinklar i intervallet $0^{\circ} \leq v \leq 360^{\circ}$, medan man här "snurrar" utan begränsning, både positivt (moturs) och negativt (medurs). Förstår man definitionen av $\sin$, $\cos$ och $\tan$ i enhetscirkeln så är det egentligen inte så svårt.
Här http://www.geogebra.org/m/3187 finns en GeoGebraillustration där man kan "leka med" enhetscirkeln. Där finns lite mer information än nödvändigt, det räcker att ni fokuserar på hur $\sin$, $\cos$ och $\tan$ fungerar.
Trigonometriska ekvationer (sid 16-19)
Det finns, av naturliga skäl, tre grundläggande varianter,
$$
\sin x= \textrm{konstant}, \, \cos x= \textrm{konstant}, \, \tan x= \textrm{konstant}.
$$
Som vanligt vid ekvationslösning gäller det att få $x$:et fritt. Det väsentliga är att komma ihåg att man kan få oändligt många lösningar, i princip två för varje varv och sedan kan man ju "snurra". Man kan inte anta att t.ex. $x$ är en vinkel i en triangel, utan ALLA möjliga $x$-värden måste presenteras. Man observerar också att vissa ekvationer saknar lösning, ett "krav" på $\sin$ och $\cos$ är ju att man får värden mellan $-1$ och $1$. Grundekvationen för $\tan$ har däremot alltid lösningar.
Som vanligt är det helt avgörande att man förstår hur det fungerar i enhetscirkeln. Då blir ekvationslösningen logisk och ganska enkel, och man förstår varför det blir lite olika hantering beroende på vilken trigonometrisk funktion som är inblandad. Här är en illustration mha GeoGebra.
https://www.geogebra.org/m/rcenjwjt
Om ni vill se på bra YouTubegenomgångar kan ni leta i Anders Karlssons spellista Matteskolan.
Enhetscirkeln - symmetrier och exakta värden (sid 20-24)
Enhetscirkeln är "grymt" symmetrisk, den ser likadan ut vid varje rotation kring origo t.ex. Eftersom sin och cos är koordinater för punkter på denna cirkel finns det därmed en massa inbördes samband mellan olika sinus- och cosinusuttryck. Dessa lär man sig knappast utantill, utan rekonstruerar efter en snabb koll i enhetscirklen. Ingående vinkel $v$ ritar man lämpligen i första kvadranten, det räcker (nog) alltid.
Boken skriver också upp några exakta värden. Dessa återfinns i formelbladet så inget man lär sig utantill. Intressantare är så fall att se hur värden tas fram. Detta gör boken på sida 21. Vill man fundera på ett betydligt ''svårare värde'', kan man försöka sig på;
Problem
Bestäm det exakta värdet på $\sin 18^{\circ}$.
1.2 Trigonometriska formler
Trigonometriska ettan (sid 25-28)
En central "formel" är den så kallade trigonometriska ettan som säger att
Trigonometriska ettan
För alla vinklar $v$ gäller att $$ \sin^2 v + \cos ^2 v =1 $$
Beviset följer av definitionen av $\sin$ och $\cos$ i enhetscirkeln och Pythagoras sats. Observera att man av lathetsskäl har infört notationskonventionen $$ \sin^2v = (\sin v)^2 \textrm{ och } \cos ^2 v = (\cos v)^2. $$ Detta sistnämnda är alltså inget man kan bevisa utan som man bestämt!
En typisk uppgift kan sedan vara att t.ex. visa att $$ \frac{1}{\cos^2v}-\tan^2 v = 1 $$ Det är oftast enklast att börja med den "sunkigaste" sidan och försöka skriva om det till den mindre "sunkiga". I exemplet ovan startar man i så fall med vänsterledet och försöker skriva om det (utan att bryta mot några regler) till talet $1$.
I vissa svårare problem kan det vara så att båda sidorna är "sunkiga". En möjlig strategi kan i så fall vara att flytta över allt på en sida, få ett "supersunkigt" uttryck som man sedan ska visa är noll.
En annan typ av uppgift på dessa sidor är att växla mellan $\sin$ och $\cos$ utan att bestämma vinklar på vägen. T.ex. kan man fråga sig vilka värden $\cos v$ kan anta om man vet att $\sin v = 0{,}5$. Man skissar en enhetscirkel och ser att två värden kan komma ifråga (om det i uppgiften står ett villkor på vinkeln kan ibland enbart ett värde komma ifråga). Dessa kan sedan bestämmas med trigonometriska ettan.
Additions- och subtraktionsformlerna för sinus och cosinus (29-32)
Till sin samling av trigonometriska identiteter bör man lägga de så kallade additionsformlerna. Man kan t.ex. ha nytta av dessa när man överlagrar sinus- och cosinuskurvor i fysiken, och i samband med lösning av vissa ekvationer. Det är lätt att glömma formlernas exakta utseende så man kollar upp dem i t.ex. formelblad vid behov. Det viktiga är att veta när och hur de kan användas och eventuellt känna till hur man plockar fram dem/bevisar dem. Någon kan ju faktiskt ha snott ens formelblad!
Den "jobbiga" formeln att ta fram, om man gör som boken, är $$ \cos(u-v)= \cos u \cos v+\sin u \sin v. $$ Denna bevisar man genom att uttrycka ett avstånd mellan två punkter på två sätt, dels "direkt" med Pythagoras sats, dels med cosinussatsen. Sen flyttar man om lite $\ldots$. När man är klar med ovanstående följer övriga ganska lätt, man byter $v$ mot $-v$ och man använder t.ex. att $\cos v = \sin(90-v)$. Som vanligt går det bra att använda formlerna utan att känna till beviset. Beviset av additionsformlerna (i alla fall ''den första'') ligger på A/B-nivå.
De som är intresserade av bevisen kan kolla in Anders Karlssons YouTubeklipp, bokens bevis finns här (sök på "matteskolan additionsformler" för övriga). Han bevisar alla fyra varianterna och gör ett bra jobb som vanligt. Enligt mig är dock bokens bevis onaturligt/dåligt, så på någon lektion rekonstruerar vi eventuellt ett bättre.
Formler för dubbla vinkeln (33-34)
Detta är inget nytt utan en följd av de framplockade additionsformlerna. I likheten $$ \sin(u+v)=\sin u \cos v + \cos u \sin v, $$ som gäller för alla $u$ och $v$, är det ju möjligt att sätta $u=v$. Då fås $$ \sin 2v = \sin(v+v)= \sin v \cos v + \cos v \sin v= 2 \sin v \cos v. $$ Detta är formeln för dubbla vinkeln för sinus. På motsvarande sätt plockar man fram en formel för cosinus av dubbla vinkeln.
Vi skriver upp alla formlerna, som man också finner i formelbladet;
Additionsformler och formler för dubbla vinklen
$$ \sin(u+v)=\sin u \cos v+ \cos u \sin v\\ \sin(u-v)=\sin u \cos v - \cos v \sin v\\ \cos(u+v)=\cos u \cos v - \sin u \sin v\\ \cos(u-v)=\cos u \cos v + \sin u \sin v\\ \sin 2v =2 \sin v \cos v\\ \cos 2v = \cos^2 v - \sin^2 v $$Ekvationer och formler (35-37)
Egentligen inget nytt här, men ändå inte helt lätt. Man måste dels ha koll på sina trigonometriska omskrivningar, dels på ekvationslösning. Det är omöjligt att formulera en taktik som fungerar alltid men här kommer några tips:
1268 Om en ekvation byggs upp av en produkt som är lika med noll så måste en faktor vara noll. Multiplicera inte ihop, utan gå igenom fallen när faktorerna är lika med noll.
1272a Så fort man ser en "dubbel" vinkel är man beredd med sina additionsformler/formler för dubbla vinkeln.
1272b Detta är en andragradsekvation i "enheten" $\sin x$. Alltså sätter vi $t=\sin x$, löser en andragradsekvation i $t$ och bestämmer sedan $x$ utifrån eventuella $t$-värden.
1274 Fixa till så att "enheten" blir $\sin x$. Observera att det är sämre att "byta in" $\cos x$ (varför?).
1275 Kan man få en faktor $\sin 2x$ i vänsterledet? Om man lyckas med detta, flytta över allt till en sida! Kom ihåg att det är obra att dividera med uttryck som innehåller $x$. Det kan ju vara noll! Säkrare att bryta ut.
1.3 Trigonometriska funktioner
Sinus- och cosinuskurvor (sid 39-43)
Trigonometriska ekvationer och digitala verktyg (sid 44-45)
Förskjuta kurvor (sid 47-50)
Här blir det tre avsnitt i ett "nafs". Dom hänger ihop så ganska onaturligt att separera.
De trigonometriska funktionerna är användbara i andra sammanhang än de rent geometriska. Om man låter en vikt hänga i en svängande fjäder och ritar grafen med viktens avvikelsen från jämvikt på $y$-axeln och tiden på $x$-axeln kommer man att få en sinuskurva (om man bortser från t.ex. luftmotstånd, i annat fall dämpas svängningen).
Se här: https://www.youtube.com/watch?v=P-Umre5Np_0
Ett annat exempel är ljudvågor som också beter sig som en sinuskurva. Ljudvågen är longitudinell och rör sig/fortplantar sig som tryckskillnader i utbredningsriktningen.
Se här: https://www.physicsclassroom.com/Class/sound/u11l1c.cfm
Ytterligare ett exempel är ljus. Det kanske inte är en våg (vad är ljus?) men har i vart fall vissa egenskaper som påminner om vågens. Mer kan man får reda av någon som vet, kanske fysikläraren.
För att konstruera en "originalkurva" $y = \sin x$ eller $y = \cos x$ snurrar man runt i enhetscirkel, sätter av vinklar på $x$-axeln och motsvarande sinusvärden (eller cosinusvärden) i $y$-led. Prova själv i denna GeoGebrakonstruktion
http://www.geogebra.org/m/8028
https://www.geogebra.org/m/MjFgAfBv
Som uppvärmning inför kapitel 2.1 kan ni spana in denna GeoGebrafil
https://www.geogebra.org/classic/xfqfb4jh
Där ser ni grafen till $h(x)=\sin x$ (lila) ritad. Denna graf får man helt enkelt genom att ''räta ut'' rotationen i enhetscirkeln, dvs man sätter ut gradtal på $x$-axeln och motsvarande sinusvärden på $y$-axeln.
Precis som man kan se grafen till $(x-1)^2+2$ som en förflyttning av grafen till $x^2$ kan man förstå allmänna sinuskurvor som modifieringar av ''grundsinusen''. I GeoGebraillustrationen ser ni också den allmänna sinuskurvan (i grönt)
$$
f(x)=A \sin(k(x+v))+d
$$
ritad med glidare för parametrarna $A,k,v,d$. Målet är att begripa hur grafen hänger ihop med parametrarna. Fundera på följande och notera dina observationer/slutsatser;
- Hur påverkar $A$ grafen?
- Hur påverkar $k$ grafen?
- Hur påverkar $v$ grafen?
- Hur påverkar $d$ grafen?
När du varm i kläderna kan du kolla in denna sinuskurva och se om du kan tänka ut parametervärdena. Försök då arbeta utifrån enbart grafen och inte lek i GeoGebra.
https://drive.google.com/file/d/14tbPlSIfIIIuX0YfOSmaZ4AIjG-JNFCc/view?usp=sharing
Vad gör parametrarna?
$A$ anger kurvans maximala avvikelse från "jämvikt" eller mer precist halva avståndet mellan funktionens största och minsta värde. $A$ kan vara både positivt och negativt (negativt A speglar grafen i "jämviktsaxeln"), men amplituden är alltid absolutbeloppet av $A$ (amplituden är alltid icke-negativ).
$k$ anger hastighetsfaktor i förhållande till originalkurvan. Om t.ex. $k$ är $2$ "går allt dubbelt så fort" eller bättre så halveras perioden (och blir $180$ grader). Om $k$ är $0{,}5$ dubblas perioden (och blir $720$ grader). Allmänt gäller att perioden är $360/k$. Även negativa $k$ kan förekomma. Det funkar också som hastighetsfaktor men kurvan speglas dessutom i $y$-axeln (jämför $y=\sin x$ med $y=\sin(-x)$ för enklaste exemplet).
$v$ anger kurvans förskjutning i sidled (fasförskjutning). Observera att positivt $v$ ger förflyttning åt vänster, och vice versa. Detta är ju analogt med att t.ex. $y=(x-1)^2$ är kurvan $y=x^2$ flyttad ett steg åt höger.
$d$ anger hur mycket kurvan är flyttad i $y$-led.
Kurvan $y=a\sin x+b\cos x$ (sid 51-53)
Kanske lite överraskande visar det sig att om man överlagrar (addererar) en sinusfunktion och en consinusfunktion med samma period så får man en förskjuten sinuskurva (med nya amplitud) dvs givet $a$ och $b$ finns det tal $A$ och $v$ sådana att $$ a \sin x + b \cos x = A \sin(x+v) $$ Frågan blir då vilket samband som finns mellan bokstäverna. Som boken visar (sid 65-66) gäller att $$ A = a^2+b^2 \textrm{ och } \tan v = \frac{b}{a} \textrm{ med kvadrantkontroll} $$
Tangensfunktioner (sid 54-55)
Hittills har vi främst studerat sinus och cosinus. Nu är det dags för den sista trigonometriska funktionen, tangens.
Man ska kunna lösa ekvationer av typen $\tan x = k$ (med varianter). Man noterar att $\tan x $ anger lutningen vid vridningsvinkel $x$, så man får till grundekvationen två lösningar per varv. Dessa lösningar ligger mitt emot varandra, med avseende på origo, i enhetscirkeln. Samtliga lösningar fås genom att man hittar en lösning (t.ex. med hjälp av räknedosa) och lägger på halvvarv, $n \cdot 180^{\circ}$.
Man ska också skaffa sig lite känsla för grafen till funktionen $y=\tan x$. Kika gärna här
http://www.geogebra.org/m/8030
Observera att grafen (kurvan) har en period på $180^{\circ}$ och att $\tan x$ inte är definierat för $x = 90^{\circ} + n \cdot 180^{\circ}$. Detta beror i sin tur på att $\cos x = 0$ för dessa $x$-värden.
Precis som med $sin$ och $cos$ kan man lägga på konstanter och ändra på tangensgrafen. Det fungerar i princip på samma sätt, men tänk gärna igenom.
1.4 Radianer
Radianer och trigonometriska ekvationer (sid 57-61)
Vad som menas med ett varv är knappast oklart eller något som kan missuppfattats. Men varför ska man, vid vinkelmätning, dela upp varvet i $360$ grundenheter (så kallade grader)? Det finns inget matematiskt skäl till detta. I själva verket är det ganska ologiskt för oss. Att det ändå blivit så kan vi skylla på babylonierna och möjligen på det faktum att det går drygt $360$ dygn på ett år.
Ett, av matematiska skäl och sedan 1700-talet, bättre vinkelmått är radianer (t.ex. blir vissa deriveringsregler enklare). Man utgår från en enhetscirkel och säger helt enkelt att en vinkel är lika många radianer som motsvarande cirkelbåge är lång. Eftersom enhetscirkelns omkrets är $2 \pi$ så kommer alltså ett varv att utgöras av $2 \pi$ radianer.
Att växla mellan grader och radianer är en "bit kaka", eftersom
$$
1 \textrm{ grad} = \frac{2 \pi}{360} \textrm{ rad} = \frac{\pi}{180} \textrm{ rad}
$$
och
$$
1 \textrm{ rad} = \frac{180}{\pi} \textrm{ grader}
$$
Notera att man ofta utelämnar enheten radianer. Man talar om och skriver vinklar som t.ex. $\frac{\pi}{2}$ (vinkeln är alltså $90$ grader).
Wildberger (min favorit) har vissa synpunkter på radianbegreppet. Första delen med synpunkter finns här
https://www.youtube.com/watch?v=j7bxL2HgZbk
Sedan kan man roa sig med att lösa trigonometriska ekvationer. Notera att det är (såklart) ingen skillnad i lösningsmetod om man kör med grader eller radianer. Som träning kan det vara bra att använda radianer hela vägen men i princip kan man köra på med grader och byta först i slutsvaret (om man måste).
Det är ingen skillnad på graferna heller utöver att $x$-axeln kommer att skalas/graderas annorlunda i förhållande till grafen. Notera att GeoGebra förutsätter radianer och att man måste sätta ut en gradsymbol om man vill rita med grader.
Trigonometriska modeller (62-65)
Ingen ny matte, istället diverse mer eller mindre realistiska situationer som modelleras med trigonometrisk funktion. Boken tänker sig att man ska lösa en del utan digitalt hjälpmedel. Men lös gärna med också, bra att kunna till eventuella ''stökiga'' uppgifter på prov.
2.1 Deriveringsregler I
Repetition (sid 82-85)
Här gäller det att friska upp sina eventuella slumrande derivatakunskaper. T.ex. friskar man upp derivatans definition.
Derivatan av $\sin x$ och $\cos x$ (sid 86-89)
I detta avsnitt, och alltid när trigonometriska funktioner ska deriveras, förutsätts att vinkelenheter är radianer!
Detta avsnitt kan man hantera på två sätt. Antingen ett mycket omatematiskt men ändå tillräckligt för att räknas som godkänd, eller ett mer matematiskt där man försöker förstå varför det blir som det blir. I det förstnämnda fallet lär man sig att
Deriveringsregler
• $D(\sin x) = \cos x$
• $D(\cos x) = -\sin x$
Möjligen kan man övertyga sig om detta genom att kika på respektive graf och hur den lutar i olika punkter. Sedan tränar man reglerna till de sitter som berget!
Strävar man mot högre betyg är det alltså säkrast att försöka förstå. Man kan notera att derivatan av $\cos x$ får man ganska enkelt från derivatan av $\sin x$, när man känner till kedjeregeln på sid 90-93, vilket ni snart gör. Så svårigheten är att derivera $\sin x$.
För att ta fram derivatan av $\sin x $ har man nu nästan inget annat val än att utgå från derivatans definition och försöka bestämma detta gränsvärde. På vägen i räkningarna nyttjar man additionsformlerna (se bok för dessa steg). Slutligen återstår ett par problematiska gränsvärden som måste bestämmas, nämligen $$ \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} \textrm{ och } \lim_{h \to 0} \frac{\cos h -1}{h} $$ I boken troliggörs dessa värden numeriskt och man kan också troliggöra geometriskt i enhetscirkeln. På lektionen blir det kanske en "fysikalisk" tolkning med hastighetsvektorer (som ligger nära det geometriska argumentet). Detta är kanske det mest intuitiva (och enkla) argumentet, men en nackdel är möjligen att man rundar såväl additionsformlerna som derivatans (algebraiska) definition (som jag lovat ni skulle få nytta av här). Men man kan kolla bokens framställning för ett alternativ.Ingetdera av argumenten/bevis som refererats ovan håller "på riktigt", men är så nära vi kan komma eftersom vi definierat sinus utifrån enhetscirkeln. Vill man ha vattentätare bevis får man definiera sinus "algebraiskare" (annan kurs).
Här, https://www.geogebra.org/m/r4bhxeB6, ser nu hur $k$-värdet till olika tangenter till $\sin x$ tycks "hamna på" $\cos x$. Så är också fallet men observera att denna illustration inte bevisar något.
Kedjeregeln (sid 90-93)
En sammansatt funktion har formen $$ f(g(x)) $$ vilket i princip utläses som att man först "gör" funktionen $g$ (den inre funktionen) på $x$:et och sedan funktionen $f$ (den yttre funktionen) på $g(x)$. Det blir kanske enklare med ett exempel;
Exempel
Låt $g(x)=x^2+1$ (inre funktion strax) och $f(u)=u^{10}$ (yttre funktion strax). Sätter vi in $g(x)$ som $u$ fås alltså den sammansatta funktionen
$$ f(g(x))=(x^2+1)^{10} $$Sådana sammansättningar deriveras som följer;
Kedjeregeln
Om funktionen $h(x)$ är sammansatt av $f(u)$ och $g(x)$, som $h(x)=f(g(x))$, så gäller att $$ h'(x)=(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) $$
Lite löst kan man uttrycka resultatet som att man ska bilda yttre derivatan gånger den inre derivatan. I exemplet får vi
Exempel
$$ D \left( (x^2+1)^{10} \right)=10(x^2+1)^{9} \cdot 2x = 20x(x^2+1)^9. $$ där sista steget bara är en "tillsnyggning".
Om man nu känner för att derivera $\cos x$ gör man omskrivningen $\cos x = \sin (\frac{\pi}{2}-x)$ eller $\cos x = \sin (x+\frac{\pi}{2})$ och vips så överförs derivatan av $\cos x$ till derivatan av $\sin x$ och $\frac{\pi}{2}-x$ eller $x+\frac{\pi}{2}$ (minns att vinklar anges i radianer i deriveringssammanhang). Den som vill kan själv fylla i detaljerna.
Bokens bevis av kedjeregeln är skissartad och kanske bättre om man vill förstå beviset är att tänka på derivator på ett lite annat sätt (som "töjningar" av tallinjen). Detta är utanför kursens ramar men om man ändå är intresserad kan man kolla här
https://www.youtube.com/watch?v=CfW845LNObM
2.2 Deriveringsregler II
Derivatan av en produkt och en kvot (sid 96-99)
Observera att jag använder den praktiska beteckningen $D$ för derivata, dvs $D(f)=f'$. Minns att summor och differenser får deriveras termvis, dvs $$ D(f+g)=D(f)+D(g),\, D(f-g)=D(f)-D(g) $$ Leibniz, som inte var vem som helst precis, trodde (kanske) i något ögonblick att produkter kunde deriveras faktorvis. Testa att "derivera" $f(x)=x^2=x \cdot x$ på detta sätt, och se att det inte blir $2x$. Efter lite eftertanke och kanske resonemang som utgick från derivatans definition insåg Leibniz att följande fungerar;
Derivatan av en produkt
$$ D(f \cdot g) = D(f) \cdot g + f \cdot D(g) $$
Ni kan vänta med att tänka igenom "bevisen" (metod 1 och 2 på sida 104-105) och först lösa ett antal uppgifter där ni använder regeln. Men beviset bör sedan åtminstone ögnas igenom.
Eftersom det finns en "regel" för att derivera produkter är det inte otänkbart att det finns en "regel" också för kvoter. Här kommer den;
Derivatan av en kvot
$$ D \left( \frac{f}{g} \right) = \frac{D(f)\cdot g - f \cdot D(g)}{g^2} $$
Bokens bevis bygger på produktregel och kedjeregel (kedjeregeln behövs egentligen inte om man modifierar lite). Ni måste kunna använda regeln även om ni inte har koll på beviset. Så träna!
Derivatan av exponentialfunktioner och logaritmfunktioner (sid 100-103)
Här illustreras en trevlig ide. Nämligen att om man känner till derivatan av en funktion så kan man bestämma derivatan till den inversa funktionen ("motsatsfunktionen"). Exempel på inversa funktioner är $f(x) = x^2$ och $g(x)=\sqrt{x}$. Den ena funktionen ogör den andra, dvs $(\sqrt{x})^2 = x$ och $\sqrt{x^2} = x$, i alla fall om $x \geq 0$. Nu råkar vi kunna derivera båda ovanstående funktioner så ett intressantare exempel är $f(x)=e^x$ och $g(x)=\ln x$ som är varandras inverser. Som boken visar i exempel 2 får man att
Derivatan av logaritmfunktionen
$$ D(\ln x) = \dfrac{1}{x} $$
med hjälp av kedjeregeln och derivatan av $e^x$. Denna derivata programmerar man sedan in i skallen och tränar användning på.
Begreppet differentialekvation (sid 104-105)
UTGÅR
Differentialekvationer och matematisk modeller
UTGÅR
2.3 Tillämpningar av deriveringsregler
Derivator och grafer (sid 108-112)
Detta har ni i princip redan gjort i Ma3c. Det handlar om att använda derivatan för att studera funktionsgrafer och bestämma största/minsta värde. Det enda nya är att ni nu kan fler funktioner. Kom ihåg att man behöver avgöra om ett visst värde är max eller min, t.ex. genom att studera andraderivatans tecken eller genom att göra en teckenstudie av derivatan. Det räcker inte att påstå att derivatan är noll.
Det är en del jobb med varje uppgift, men å andra sidan är det ungefär samma upplägg varje gång. Så gör hellre lite färre men ordentligt. Även om det inte är ok med GeoGebra på de flesta, så se till att ni ändå behärskar GeoGebralösning.
Derivator och tillämpningar (sid 113-116)
Ungefär samma sak som förra avsnittet med tillägget ett det handlar om "verkliga" problemsituationer.